Номер 692, страница 203 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 692, страница 203.

Условие.

692 Найти множество значений функции:

1) $y = 1 + \sin x;$

2) $y = 1 - \cos x;$

3) $y = 2 \sin x + 3;$

4) $y = 1 - 4 \cos 2x;$

5) $y = \sin 2x \cos 2x + 2;$

6) $y = \frac{1}{2} \sin x \cos x - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти множество значений функции $y = 1 + \sin x$, воспользуемся тем, что множество значений функции синус, обозначаемое как $E(\sin x)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $ -1 \le \sin x \le 1 $. Чтобы получить выражение для $y$, прибавим ко всем частям этого неравенства число 1: $ -1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1 $. Выполнив сложение, получаем: $ 0 \le 1 + \sin x \le 2 $. Следовательно, множество значений функции $y$ есть отрезок $[0, 2]$.
Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

2) Для функции $y = 1 - \cos x$ используем тот факт, что множество значений функции косинус, $E(\cos x)$, также является отрезком $[-1, 1]$: $ -1 \le \cos x \le 1 $. Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $ -1 \cdot (-1) \ge -\cos x \ge 1 \cdot (-1) $, $ 1 \ge -\cos x \ge -1 $. Это неравенство можно переписать в более привычном виде: $ -1 \le -\cos x \le 1 $. Теперь прибавим ко всем частям неравенства 1: $ -1 + 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1 $. В результате получаем: $ 0 \le 1 - \cos x \le 2 $. Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[0, 2]$.
Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

3) Для функции $y = 2 \sin x + 3$ снова начнем с области значений синуса: $ -1 \le \sin x \le 1 $. Умножим все части этого неравенства на 2: $ -2 \le 2 \sin x \le 2 $. Затем прибавим ко всем частям 3: $ -2 + 3 \le 2 \sin x + 3 \le 2 + 3 $. $ 1 \le 2 \sin x + 3 \le 5 $. Множество значений исходной функции $y$ — это отрезок $[1, 5]$.
Ответ: $E(y) = [1, 5]$.

4) Для функции $y = 1 - 4 \cos 2x$ важно отметить, что наличие множителя 2 в аргументе косинуса ($2x$) не меняет его множества значений. То есть, $E(\cos 2x) = [-1, 1]$: $ -1 \le \cos 2x \le 1 $. Умножим все части неравенства на -4, не забывая изменить знаки неравенства на противоположные: $ 4 \ge -4 \cos 2x \ge -4 $, что то же самое, что и $ -4 \le -4 \cos 2x \le 4 $. Теперь прибавим ко всем частям 1: $ 1 - 4 \le 1 - 4 \cos 2x \le 1 + 4 $. $ -3 \le 1 - 4 \cos 2x \le 5 $. Следовательно, искомое множество значений — это отрезок $[-3, 5]$.
Ответ: $E(y) = [-3, 5]$.

5) Для нахождения множества значений функции $y = \sin 2x \cos 2x + 2$ сначала упростим ее выражение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из нее следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$. В нашем случае в качестве $\alpha$ выступает $2x$, поэтому $2\alpha = 4x$. Преобразуем функцию: $ y = \frac{1}{2} \sin(4x) + 2 $. Теперь найдем множество значений преобразованной функции. Множество значений $\sin(4x)$ — это отрезок $[-1, 1]$: $ -1 \le \sin(4x) \le 1 $. Умножим неравенство на $\frac{1}{2}$: $ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \sin(4x) \le \frac{1}{2} $. Прибавим 2 ко всем частям: $ 2 - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \sin(4x) + 2 \le 2 + \frac{1}{2} $. $ \frac{3}{2} \le y \le \frac{5}{2} $. Множество значений функции $y$ — это отрезок $[\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$.
Ответ: $E(y) = [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$.

6) В функции $y = \frac{1}{2}\sin x \cos x - 1$ также присутствует произведение синуса и косинуса. Используем ту же формулу синуса двойного угла, где $\alpha = x$: $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$. Подставим это выражение в исходное уравнение функции: $ y = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin(2x) \right) - 1 = \frac{1}{4} \sin(2x) - 1 $. Найдем множество значений, исходя из того, что $-1 \le \sin(2x) \le 1$: Умножим неравенство на $\frac{1}{4}$: $ -\frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \sin(2x) \le \frac{1}{4} $. Вычтем 1 из всех частей: $ -\frac{1}{4} - 1 \le \frac{1}{4} \sin(2x) - 1 \le \frac{1}{4} - 1 $. $ -\frac{5}{4} \le y \le -\frac{3}{4} $. Итак, множество значений функции $y$ — это отрезок $[-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}]$.