Номер 699, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 699, страница 204.

Условие.

699 Найти множество значений функции

$y = 10 \cos^2 x - 6 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения множества значений функции $y = 10 \cos^2 x - 6 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x$ преобразуем ее, используя тригонометрические формулы понижения степени и двойного угла.

Воспользуемся следующими тождествами:

• $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
• $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
• $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, откуда следует, что $6 \sin x \cos x = 3 \sin(2x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение функции:

$y = 10 \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right) - 3 \sin(2x) + 2 \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и выполнив деление:

$y = 5(1 + \cos(2x)) - 3 \sin(2x) + (1 - \cos(2x))$

$y = 5 + 5 \cos(2x) - 3 \sin(2x) + 1 - \cos(2x)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$y = (5 + 1) + (5 \cos(2x) - \cos(2x)) - 3 \sin(2x)$

$y = 6 + 4 \cos(2x) - 3 \sin(2x)$

Теперь необходимо найти множество значений для выражения $4 \cos(2x) - 3 \sin(2x)$. Это выражение вида $a \cos t + b \sin t$, где $t=2x$, $a=4$ и $b=-3$. Множество значений такого выражения есть отрезок $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}] $.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2}$:

$\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, выражение $4 \cos(2x) - 3 \sin(2x)$ принимает значения в диапазоне от $-5$ до $5$ включительно:

$-5 \leq 4 \cos(2x) - 3 \sin(2x) \leq 5$

Теперь мы можем найти границы множества значений для всей функции $y = 6 + (4 \cos(2x) - 3 \sin(2x))$:

Минимальное значение функции $y$ достигается, когда выражение $4 \cos(2x) - 3 \sin(2x)$ принимает минимальное значение, равное $-5$:

$y_{min} = 6 + (-5) = 1$

Максимальное значение функции $y$ достигается, когда выражение $4 \cos(2x) - 3 \sin(2x)$ принимает максимальное значение, равное $5$:

$y_{max} = 6 + 5 = 11$

Следовательно, множество значений функции $y$ — это отрезок $[1, 11]$.

Ответ: $[1; 11]$.