Номер 705, страница 208 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 705, страница 208.

Условие.

Найти наименьший положительный период функции (705-706).

705 1) $y = \cos \frac{2}{5} x;$ 2) $y = \sin \frac{3}{2} x;$ 3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2};$ 4) $y = |\sin x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Наименьший положительный период функции вида $y = f(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — наименьший положительный период основной функции $y = f(x)$. Для функции $y = \cos x$ основной период $T_0 = 2\pi$. В данном случае, для функции $y = \cos \frac{2}{5}x$, коэффициент $k = \frac{2}{5}$. Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{2\pi}{|\frac{2}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\pi$.
Ответ: $5\pi$.

2) Для функции $y = \sin x$ основной период $T_0 = 2\pi$. Для функции $y = \sin \frac{3}{2}x$, коэффициент $k = \frac{3}{2}$. Используя формулу $T = \frac{T_0}{|k|}$, находим период: $T = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

3) Для функции $y = \operatorname{tg} x$ основной период $T_0 = \pi$. Функцию $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ можно записать как $y = \operatorname{tg} (\frac{1}{2}x)$, где коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Применяем формулу $T = \frac{T_0}{|k|}$: $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = \pi \cdot 2 = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

4) Основной период функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$. Рассмотрим, как операция взятия модуля влияет на период. График функции $y = |\sin x|$ получается из графика $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс тех частей графика, которые лежат ниже этой оси. Функция $\sin x$ отрицательна на интервалах $(\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$ и так далее. После взятия модуля "отрицательная" полуволна на интервале $(\pi, 2\pi)$ становится идентичной "положительной" полуволне на интервале $(0, \pi)$. В результате этого преобразования рисунок графика начинает повторяться с периодом, который вдвое меньше периода исходной функции. Таким образом, наименьший положительный период функции $y = |\sin x|$ равен $T = \frac{T_0}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.