Номер 708, страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 708, страница 211.

Условие.

Пользуясь графиком функции $y = \cos x$, выполнить упраж-нения (708—713).

708 (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащихотрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \cos x$ принимает:

1) значение, равное 0, 1, –1;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$. Период функции $T = 2\pi$. На указанном отрезке находится полтора периода функции.

Рассмотрим ключевые точки графика на отрезке $[0; 3\pi]$:

• При $x=0$, $y = \cos 0 = 1$ (максимум).
• При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ (пересечение с осью Ox).
• При $x=\pi$, $y = \cos \pi = -1$ (минимум).
• При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$ (пересечение с осью Ox).
• При $x=2\pi$, $y = \cos 2\pi = 1$ (максимум).
• При $x=\frac{5\pi}{2}$, $y = \cos \frac{5\pi}{2} = 0$ (пересечение с осью Ox).
• При $x=3\pi$, $y = \cos 3\pi = -1$ (минимум).

1) значение, равное 0, 1, –1;

Используя график и ключевые точки на отрезке $[0; 3\pi]$, находим значения $x$, для которых функция принимает заданные значения.

Когда $y = 0$: Это происходит в точках пересечения графика с осью абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это точки: $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$, $x = \frac{5\pi}{2}$.

Когда $y = 1$: Это происходит в точках максимума функции. На отрезке $[0; 3\pi]$ это точки: $x = 0$, $x = 2\pi$.

Когда $y = -1$: Это происходит в точках минимума функции. На отрезке $[0; 3\pi]$ это точки: $x = \pi$, $x = 3\pi$.

Ответ: функция принимает значение, равное 0, при $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$; значение, равное 1, при $x = 0, 2\pi$; значение, равное –1, при $x = \pi, 3\pi$.

2) положительные значения;

Функция $y = \cos x$ принимает положительные значения ($y>0$), когда её график находится выше оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит на следующих промежутках:

• От $x=0$ (где $y=1$) до $x=\frac{\pi}{2}$ (где $y=0$). Учитывая, что в точке $x=0$ значение положительно, а в точке $x=\frac{\pi}{2}$ равно нулю, получаем промежуток $[0; \frac{\pi}{2})$.
• От $x=\frac{3\pi}{2}$ (где $y=0$) до $x=\frac{5\pi}{2}$ (где $y=0$). На этом интервале значения функции положительны, получаем промежуток $(\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2})$.

Объединяя эти промежутки, находим все значения $x$, при которых функция положительна.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in [0; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2})$.

3) отрицательные значения.

Функция $y = \cos x$ принимает отрицательные значения ($y<0$), когда её график находится ниже оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит на следующих промежутках:

• От $x=\frac{\pi}{2}$ (где $y=0$) до $x=\frac{3\pi}{2}$ (где $y=0$). На этом интервале значения функции отрицательны, получаем промежуток $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• От $x=\frac{5\pi}{2}$ (где $y=0$) до $x=3\pi$ (где $y=-1$). Учитывая, что в точке $x=3\pi$ значение отрицательно, а в точке $x=\frac{5\pi}{2}$ равно нулю, получаем промежуток $(\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.

Объединяя эти промежутки, находим все значения $x$, при которых функция отрицательна.

Ответ: функция принимает отрицательные значения при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.