Номер 714, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 714, страница 212.

Условие.

714 Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $cos \frac{\pi}{5}$ и $sin \frac{\pi}{5}$;

2) $sin \frac{\pi}{7}$ и $cos \frac{\pi}{7}$;

3) $cos \frac{3\pi}{8}$ и $sin \frac{5\pi}{8}$;

4) $sin \frac{3\pi}{5}$ и $cos \frac{\pi}{5}$;

5) $cos \frac{\pi}{6}$ и $sin \frac{5\pi}{14}$;

6) $cos \frac{\pi}{8}$ и $sin \frac{3\pi}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним $cos \frac{\pi}{5}$ и $sin \frac{\pi}{5}$.
Используем формулу приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы выразить синус через косинус:
$sin \frac{\pi}{5} = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = cos(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = cos \frac{3\pi}{10}$.
Теперь необходимо сравнить $cos \frac{\pi}{5}$ и $cos \frac{3\pi}{10}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$.
Сравниваем $cos \frac{2\pi}{10}$ и $cos \frac{3\pi}{10}$.
Аргументы $\frac{2\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{10}$ находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция $y = cos(x)$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Так как $\frac{2\pi}{10} < \frac{3\pi}{10}$, то $cos \frac{2\pi}{10} > cos \frac{3\pi}{10}$.
Следовательно, $cos \frac{\pi}{5} > sin \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $cos \frac{\pi}{5} > sin \frac{\pi}{5}$.

2) Сравним $sin \frac{\pi}{7}$ и $cos \frac{\pi}{7}$.
Используем формулу приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$sin \frac{\pi}{7} = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = cos(\frac{7\pi - 2\pi}{14}) = cos \frac{5\pi}{14}$.
Теперь сравним $cos \frac{5\pi}{14}$ и $cos \frac{\pi}{7}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14}$.
Сравниваем $cos \frac{5\pi}{14}$ и $cos \frac{2\pi}{14}$.
Оба угла $\frac{5\pi}{14}$ и $\frac{2\pi}{14}$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция косинуса убывает.
Так как $\frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14}$, то $cos \frac{5\pi}{14} < cos \frac{2\pi}{14}$.
Следовательно, $sin \frac{\pi}{7} < cos \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $sin \frac{\pi}{7} < cos \frac{\pi}{7}$.

3) Сравним $cos \frac{3\pi}{8}$ и $sin \frac{5\pi}{8}$.
Используем формулу приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$sin \frac{5\pi}{8} = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{8}) = cos(\frac{4\pi - 5\pi}{8}) = cos(-\frac{\pi}{8})$.
Так как косинус — четная функция ($cos(-x) = cos(x)$), то $cos(-\frac{\pi}{8}) = cos \frac{\pi}{8}$.
Теперь сравним $cos \frac{3\pi}{8}$ и $cos \frac{\pi}{8}$.
Оба угла $\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{8}$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция косинуса убывает.
Так как $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{8}$, то $cos \frac{3\pi}{8} < cos \frac{\pi}{8}$.
Следовательно, $cos \frac{3\pi}{8} < sin \frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $cos \frac{3\pi}{8} < sin \frac{5\pi}{8}$.

4) Сравним $sin \frac{3\pi}{5}$ и $cos \frac{\pi}{5}$.
Используем формулу приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$sin \frac{3\pi}{5} = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}) = cos(\frac{5\pi - 6\pi}{10}) = cos(-\frac{\pi}{10})$.
Используя четность косинуса, получаем $cos(-\frac{\pi}{10}) = cos \frac{\pi}{10}$.
Теперь сравним $cos \frac{\pi}{10}$ и $cos \frac{\pi}{5}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$.
Сравниваем $cos \frac{\pi}{10}$ и $cos \frac{2\pi}{10}$.
Оба угла $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{2\pi}{10}$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция косинуса убывает.
Так как $\frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10}$, то $cos \frac{\pi}{10} > cos \frac{2\pi}{10}$.
Следовательно, $sin \frac{3\pi}{5} > cos \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $sin \frac{3\pi}{5} > cos \frac{\pi}{5}$.

5) Сравним $cos \frac{\pi}{6}$ и $sin \frac{5\pi}{14}$.
Используем формулу приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$sin \frac{5\pi}{14} = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = cos(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = cos(\frac{2\pi}{14}) = cos \frac{\pi}{7}$.
Теперь сравним $cos \frac{\pi}{6}$ и $cos \frac{\pi}{7}$.
Оба угла $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{7}$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция косинуса убывает.
Так как $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$, то $\frac{\pi}{6} > \frac{\pi}{7}$.
Поскольку функция косинуса убывает, то $cos \frac{\pi}{6} < cos \frac{\pi}{7}$.
Следовательно, $cos \frac{\pi}{6} < sin \frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $cos \frac{\pi}{6} < sin \frac{5\pi}{14}$.

6) Сравним $cos \frac{\pi}{8}$ и $sin \frac{3\pi}{10}$.
Используем формулу приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$sin \frac{3\pi}{10} = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = cos(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = cos(\frac{2\pi}{10}) = cos \frac{\pi}{5}$.
Теперь сравним $cos \frac{\pi}{8}$ и $cos \frac{\pi}{5}$.
Оба угла $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция косинуса убывает.
Так как $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$, то $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$.
Поскольку функция косинуса убывает, то $cos \frac{\pi}{8} > cos \frac{\pi}{5}$.
Следовательно, $cos \frac{\pi}{8} > sin \frac{3\pi}{10}$.
Ответ: $cos \frac{\pi}{8} > sin \frac{3\pi}{10}$.