Номер 718, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 718, страница 212.

Условие.

718 Найти множество значений функции $y = \cos x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[\frac{\pi}{3}; \pi]$;

2) $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдём множество значений функции $y = \cos x$, если $x$ принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{3}; \pi]$.

Функция $y = \cos x$ является непрерывной. На промежутке $[0, \pi]$ функция косинуса монотонно убывает. Поскольку заданный промежуток $[\frac{\pi}{3}; \pi]$ является частью промежутка $[0, \pi]$, то и на нём функция $y = \cos x$ монотонно убывает.

Для монотонной функции на замкнутом отрезке её наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах этого отрезка. Найдём значения функции на границах промежутка:

При $x = \frac{\pi}{3}$, $y = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
При $x = \pi$, $y = \cos(\pi) = -1$.

Так как функция убывает, её наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$ (в левой точке), а наименьшее равно $-1$ (в правой точке). В силу непрерывности, функция принимает все значения между $-1$ и $\frac{1}{2}$.

Ответ: $y \in [-1; \frac{1}{2}]$.

2) Найдём множество значений функции $y = \cos x$, если $x$ принадлежит промежутку $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$.

Функция $y = \cos x$ является непрерывной. Исследуем её поведение на данном интервале. Для этого найдём её производную: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Определим знак производной. Интервал $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$ соответствует углам в третьей и четвёртой координатных четвертях. В этих четвертях $\sin x < 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x$ будет положительна ($y' > 0$) на всём данном интервале. Это означает, что функция $y = \cos x$ строго возрастает на промежутке $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$.

Для строго возрастающей функции на открытом интервале множество её значений также является открытым интервалом. Его границы можно найти, вычислив значения функции на концах исходного интервала (сами эти значения достигаться не будут):

Нижняя граница множества значений: $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Верхняя граница множества значений: $\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, множество значений функции — это интервал от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $y \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.