Номер 717, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 717, страница 212.

Условие.

717 Построить график функции и выяснить её свойства:

1) $y = 1 + \cos x$;

2) $y = \cos 2x$;

3) $y = 3 \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) y = 1 + cos x;

Для построения графика функции $y = 1 + \cos x$ необходимо выполнить преобразование графика основной функции $y = \cos x$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси OY).
Если график $y = \cos x$ (косинусоида) колеблется в пределах от -1 до 1, то график функции $y = 1 + \cos x$ будет колебаться в пределах от $1-1=0$ до $1+1=2$.

Свойства функции $y = 1 + \cos x$:
1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Область значений: отрезок $[0; 2]$, то есть $E(y) = [0; 2]$.
3. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется $y(-x) = 1 + \cos(-x) = 1 + \cos x = y(x)$. График функции симметричен относительно оси OY.
4. Периодичность: функция периодическая. Основной период такой же, как у функции $\cos x$, и равен $T = 2\pi$.
5. Нули функции (точки пересечения с осью OX): $y = 0$ при $1 + \cos x = 0$, что равносильно $\cos x = -1$. Отсюда $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства: так как $E(y) = [0; 2]$, функция неотрицательна на всей области определения ($y \ge 0$). Функция обращается в ноль в точках $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и строго положительна ($y > 0$) при всех остальных значениях $x$.
7. Промежутки монотонности:
- функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
- функция убывает на промежутках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- точки максимума: $x_{max} = 2\pi n$, в которых $y_{max} = 2, n \in \mathbb{Z}$.
- точки минимума: $x_{min} = \pi + 2\pi n$, в которых $y_{min} = 0, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 1 + \cos x$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на 1 вверх. Основные свойства: область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0; 2]$, функция четная, период $T = 2\pi$.

2) y = cos 2x;

Для построения графика функции $y = \cos(2x)$ необходимо выполнить преобразование графика основной функции $y = \cos x$. Данное преобразование представляет собой сжатие графика $y = \cos x$ к оси ординат (оси OY) в 2 раза.
Это преобразование влияет на период функции: если основной период $y = \cos x$ равен $2\pi$, то основной период функции $y = \cos(2x)$ будет равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда колебаний при этом не меняется.

Свойства функции $y = \cos 2x$:
1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Область значений: отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.
3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = \cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x) = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
4. Периодичность: функция периодическая. Основной период $T = \pi$.
5. Нули функции: $y = 0$ при $\cos(2x) = 0$. Отсюда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ на интервалах $(-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности:
- функция возрастает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.
- функция убывает на промежутках вида $[\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- точки максимума: $x_{max} = \pi n$, в которых $y_{max} = 1, n \in \mathbb{Z}$.
- точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, в которых $y_{min} = -1, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x$ получается сжатием графика $y = \cos x$ в 2 раза вдоль оси OX. Основные свойства: область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1; 1]$, функция четная, период $T = \pi$.

3) y = 3 cos x.

Для построения графика функции $y = 3\cos x$ необходимо выполнить преобразование графика основной функции $y = \cos x$. Данное преобразование представляет собой растяжение графика $y = \cos x$ от оси абсцисс (оси OX) в 3 раза.
Это преобразование влияет на амплитуду колебаний: если график $y = \cos x$ колеблется в пределах от -1 до 1, то график функции $y = 3\cos x$ будет колебаться в пределах от $3 \cdot (-1) = -3$ до $3 \cdot 1 = 3$. Период функции при этом не меняется.

Свойства функции $y = 3\cos x$:
1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Область значений: отрезок $[-3; 3]$, то есть $E(y) = [-3; 3]$.
3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = 3\cos(-x) = 3\cos x = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
4. Периодичность: функция периодическая. Основной период $T = 2\pi$.
5. Нули функции: $y = 0$ при $3\cos x = 0$, что равносильно $\cos x = 0$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности:
- функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
- функция убывает на промежутках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- точки максимума: $x_{max} = 2\pi n$, в которых $y_{max} = 3, n \in \mathbb{Z}$.
- точки минимума: $x_{min} = \pi + 2\pi n$, в которых $y_{min} = -3, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x$ получается растяжением графика $y = \cos x$ в 3 раза вдоль оси OY. Основные свойства: область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-3; 3]$, функция четная, период $T = 2\pi$.