Номер 716, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 716, страница 212.

Условие.

716 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]:$

1) $cos 2x < \frac{1}{2}$;

2) $cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Требуется найти все решения неравенства $\cos 2x < \frac{1}{2}$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Тогда, поскольку $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то $t \in [2 \cdot (-\frac{\pi}{2}), 2 \cdot \frac{3\pi}{2}] = [-\pi, 3\pi]$.
Теперь задача состоит в том, чтобы решить неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ на отрезке $t \in [-\pi, 3\pi]$.
Сначала найдем общее решение неравенства $\cos t < \frac{1}{2}$. Решениями уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ являются $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На единичной окружности косинус меньше $\frac{1}{2}$ для углов, лежащих в интервале $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$. Таким образом, общее решение неравенства: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем из этих решений те, которые принадлежат отрезку $t \in [-\pi, 3\pi]$.
При $k = 0$: $\frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3}$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[-\pi, 3\pi]$.
При $k = 1$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi \Rightarrow \frac{7\pi}{3} < t < \frac{11\pi}{3}$. Пересечение с отрезком $[-\pi, 3\pi]$ дает интервал $(\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$.
При $k = -1$: $\frac{\pi}{3} - 2\pi < t < \frac{5\pi}{3} - 2\pi \Rightarrow -\frac{5\pi}{3} < t < -\frac{\pi}{3}$. Пересечение с отрезком $[-\pi, 3\pi]$ дает интервал $[-\pi, -\frac{\pi}{3})$.
Объединяя найденные интервалы для $t$, получаем: $t \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}) \cup (\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$.
Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $t = 2x$ (или $x = t/2$):
1. $-\pi \le t < -\frac{\pi}{3} \Rightarrow -\frac{\pi}{2} \le x < -\frac{\pi}{6}$
2. $\frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3} \Rightarrow \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$
3. $\frac{7\pi}{3} < t \le 3\pi \Rightarrow \frac{7\pi}{6} < x \le \frac{3\pi}{2}$
Все полученные интервалы принадлежат исходному отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}]$.

2) Требуется найти все решения неравенства $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x$. Тогда, поскольку $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то $t \in [3 \cdot (-\frac{\pi}{2}), 3 \cdot \frac{3\pi}{2}] = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
Теперь решаем неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решениями уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ являются $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На единичной окружности косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для углов, лежащих в интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$. Таким образом, общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем из этих решений те, которые принадлежат отрезку $t \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
При $k = 0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6}$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
При $k = 1$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi \Rightarrow \frac{11\pi}{6} < t < \frac{13\pi}{6}$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
При $k = 2$: $-\frac{\pi}{6} + 4\pi < t < \frac{\pi}{6} + 4\pi \Rightarrow \frac{23\pi}{6} < t < \frac{25\pi}{6}$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$, так как $\frac{9\pi}{2} = \frac{27\pi}{6}$.
При $k = -1$: $-\frac{\pi}{6} - 2\pi < t < \frac{\pi}{6} - 2\pi \Rightarrow -\frac{13\pi}{6} < t < -\frac{11\pi}{6}$. Этот интервал не пересекается с $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$, так как $-\frac{11\pi}{6} < -\frac{9\pi}{6} = -\frac{3\pi}{2}$.
При $k = 3$: $-\frac{\pi}{6} + 6\pi < t < \frac{\pi}{6} + 6\pi \Rightarrow \frac{35\pi}{6} < t < \frac{37\pi}{6}$. Этот интервал не пересекается с $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$, так как $\frac{35\pi}{6} > \frac{27\pi}{6} = \frac{9\pi}{2}$.
Итак, решения для $t$: $t \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}) \cup (\frac{23\pi}{6}, \frac{25\pi}{6})$.
Вернемся к переменной $x$, зная что $t = 3x$ (или $x = t/3$):
1. $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18}$
2. $\frac{11\pi}{6} < t < \frac{13\pi}{6} \Rightarrow \frac{11\pi}{18} < x < \frac{13\pi}{18}$
3. $\frac{23\pi}{6} < t < \frac{25\pi}{6} \Rightarrow \frac{23\pi}{18} < x < \frac{25\pi}{18}$
Все полученные интервалы принадлежат исходному отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}) \cup (\frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}) \cup (\frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18})$.