Номер 723, страница 215 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 723, страница 215.

Условие.

723 Используя свойство возрастания или убывания функции

$y = \sin x$, сравнить числа:

1) $\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$;

2) $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$;

3) $\sin \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\sin \left(-\frac{9\pi}{8}\right)$;

4) $\sin 7$ и $\sin 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним числа $\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$.

Рассмотрим аргументы функции синус: $x_1 = \frac{7\pi}{10}$ и $x_2 = \frac{13\pi}{10}$.

Определим, на каком промежутке монотонности находятся эти значения. Заметим, что $\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10}$.

Таким образом, оба аргумента принадлежат промежутку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10} < \frac{3\pi}{2}$.

На промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы: $\frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$.

Поскольку функция убывает на данном промежутке, то из неравенства для аргументов следует обратное неравенство для значений функции: $\sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10}$.

Ответ: $\sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10}$.

2) Сравним числа $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$.

Рассмотрим аргументы функции синус: $x_1 = \frac{13\pi}{7}$ и $x_2 = \frac{11\pi}{7}$.

Определим, на каком промежутке монотонности находятся эти значения. Заметим, что $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$ и $2\pi = \frac{14\pi}{7}$.

Таким образом, оба аргумента принадлежат промежутку $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{7} < \frac{13\pi}{7} < 2\pi$.

Промежуток $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ является частью промежутка возрастания функции $y=\sin x$, а именно $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. На промежутке $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы: $\frac{11\pi}{7} < \frac{13\pi}{7}$.

Поскольку функция возрастает на данном промежутке, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции: $\sin \frac{11\pi}{7} < \sin \frac{13\pi}{7}$.

Ответ: $\sin \frac{13\pi}{7} > \sin \frac{11\pi}{7}$.

3) Сравним числа $\sin(-\frac{8\pi}{7})$ и $\sin(-\frac{9\pi}{8})$.

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и формулы приведения, чтобы упростить выражения.

$\sin(-\frac{8\pi}{7}) = -\sin(\frac{8\pi}{7}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -(-\sin(\frac{\pi}{7})) = \sin(\frac{\pi}{7})$.

$\sin(-\frac{9\pi}{8}) = -\sin(\frac{9\pi}{8}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -(-\sin(\frac{\pi}{8})) = \sin(\frac{\pi}{8})$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sin(\frac{\pi}{7})$ и $\sin(\frac{\pi}{8})$.

Аргументы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$ находятся в промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\sin x$ возрастает.

Сравним аргументы: так как $7 < 8$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$, и следовательно, $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Так как функция $y=\sin x$ возрастает на $[0, \frac{\pi}{2}]$, то большему аргументу соответствует большее значение функции: $\sin(\frac{\pi}{7}) > \sin(\frac{\pi}{8})$.

Следовательно, $\sin(-\frac{8\pi}{7}) > \sin(-\frac{9\pi}{8})$.

Ответ: $\sin(-\frac{8\pi}{7}) > \sin(-\frac{9\pi}{8})$.

4) Сравним числа $\sin 7$ и $\sin 6$.

Рассмотрим аргументы функции синус: $x_1 = 7$ и $x_2 = 6$ (в радианах).

Для определения промежутка монотонности используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Тогда $2\pi \approx 6.28$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$.

Аргумент $x_2 = 6$ находится в промежутке $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, так как $4.71 < 6 < 6.28$. Это соответствует IV четверти, где синус отрицателен. Итак, $\sin 6 < 0$.

Аргумент $x_1 = 7$ находится в промежутке $(2\pi, \frac{5\pi}{2})$, так как $6.28 < 7 < 7.85$. Это соответствует I четверти, где синус положителен. Итак, $\sin 7 > 0$.

Поскольку положительное число всегда больше отрицательного, то $\sin 7 > \sin 6$.

Другой способ: Оба аргумента $6$ и $7$ принадлежат промежутку $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$, на котором функция $y = \sin x$ непрерывно возрастает. Сравним аргументы: $6 < 7$. Так как функция на этом промежутке возрастает, то $\sin 6 < \sin 7$.

Ответ: $\sin 7 > \sin 6$.