Номер 730, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 730, страница 216.

Условие.

730 Найти множество значений функции $y = \sin x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[\frac{\pi}{6}; \pi];$

2) $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Требуется найти множество значений функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{\pi}{6}; \pi]$.
Для нахождения множества значений (области значений) функции на отрезке необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.
1. Вычислим значения функции на концах заданного промежутка:
При $x = \frac{\pi}{6}$, значение функции $y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
При $x = \pi$, значение функции $y = \sin(\pi) = 0$.
2. Проверим, достигает ли функция своих экстремальных (максимальных или минимальных) значений внутри интервала $(\frac{\pi}{6}; \pi)$.
Функция $y = \sin x$ имеет точку максимума при $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит рассматриваемому промежутку, так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} < \pi$.
Значение функции в этой точке: $y_{max} = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
3. Сравним найденные значения: значения на концах отрезка (0 и $\frac{1}{2}$) и значение в точке максимума (1).
Наибольшее значение функции на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \pi]$ равно 1.
Наименьшее значение функции на отрезке равно 0.
Поскольку функция $y = \sin x$ непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.
Следовательно, множество значений функции на данном промежутке — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: $[0; 1]$.

2)

Требуется найти множество значений функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$.
1. Вычислим значения функции на концах заданного промежутка:
При $x = \frac{3\pi}{4}$, значение функции $y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $x = \frac{5\pi}{4}$, значение функции $y = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Исследуем поведение функции на интервале $(\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$.
Этот промежуток целиком лежит внутри отрезка $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, на котором функция $y = \sin x$ монотонно убывает.
Это также можно проверить с помощью производной: $y' = (\sin x)' = \cos x$. На интервале $(\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$ (вторая и третья координатные четверти) значение $\cos x$ отрицательно, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
Поскольку функция на данном отрезке монотонно убывает, ее наибольшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наименьшее — в конечной.
Наибольшее значение: $y_{max} = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.
Следовательно, множество значений функции на данном промежутке — это отрезок $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.