Номер 734, страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 734, страница 221.

Условие.

734 (Устно.) Выяснить, является ли функция $y = \text{tg } x$ возрастающей на промежутке:

1) $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$;

2) $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

3) $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8}\right)$;

4) $[2; 3]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, является ли функция $y = \tg x$ возрастающей на заданном промежутке, необходимо проверить, не содержит ли этот промежуток точек разрыва функции.

Функция $y = \tg x$ определена и непрерывна для всех $x$, кроме точек вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.

Производная функции $y' = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Поскольку $\cos^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения функции, ее производная $y' > 0$. Это означает, что функция $y = \tg x$ строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения, то есть на каждом интервале вида $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, задача сводится к проверке, принадлежит ли каждый из указанных промежутков одному из таких интервалов возрастания.

1) $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$

Рассмотрим интервал возрастания при $k=0$, который имеет вид $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ (так как $1/3 < 1/2$), то весь промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ целиком содержится в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. На этом промежутке нет точек разрыва, и функция возрастает.

Ответ: да, является.

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi)$

Рассмотрим интервал возрастания при $k=1$, который имеет вид $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$. Поскольку $\pi < \frac{3\pi}{2}$ (так как $1 < 3/2$), то промежуток $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ является частью интервала $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$. На этом промежутке нет точек разрыва, и функция возрастает.

Ответ: да, является.

3) $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8})$

Рассмотрим интервал возрастания при $k=0$: $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Поскольку $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$ (так как $1/8 < 1/2$), то промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8})$ является частью интервала $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. На этом промежутке нет точек разрыва, и функция возрастает.

Ответ: да, является.

4) $[2; 3]$

Найдем, содержит ли промежуток $[2; 3]$ точки разрыва вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14159$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$. Точки разрыва: ..., $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, ... Промежуток $[2; 3]$ не содержит ни одной из этих точек. Он целиком лежит между $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$. То есть, $[2; 3] \subset \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2$ и $3 < \pi \approx 3.14 < \frac{3\pi}{2}$. На интервале $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ функция возрастает, следовательно, она возрастает и на его части $[2; 3]$.

Ответ: да, является.