Номер 741, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 741, страница 222.

Условие.

741 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$:

1) $\text{tg } x \ge 3$;

2) $\text{tg } x < 4$;

3) $\text{tg } x \le -4$;

4) $\text{tg } x > -3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) tg x ≥ 3;

Общее решение неравенства $tg \ x \geq a$ имеет вид $arctg(a) + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для неравенства $tg \ x \geq 3$ общее решение: $arctg(3) + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$. Для этого будем перебирать целочисленные значения $n$.
При $n=0$: $arctg(3) \leq x < \frac{\pi}{2}$. Так как $0 < arctg(3) < \frac{\pi}{2}$, этот интервал полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=1$: $arctg(3) + \pi \leq x < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал также полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=2$: $arctg(3) + 2\pi \leq x < \frac{5\pi}{2}$. Этот интервал также полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=3$: $arctg(3) + 3\pi \leq x < \frac{7\pi}{2}$. Этот интервал лежит правее отрезка $[0; 3\pi]$.
При $n < 0$ решения будут отрицательными и не войдут в искомый отрезок.
Объединяя найденные интервалы, получаем решение на отрезке $[0; 3\pi]$.
Ответ: $x \in [arctg(3); \frac{\pi}{2}) \cup [arctg(3) + \pi; \frac{3\pi}{2}) \cup [arctg(3) + 2\pi; \frac{5\pi}{2})$.

2) tg x < 4;

Общее решение неравенства $tg \ x < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для неравенства $tg \ x < 4$ общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < arctg(4) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на отрезке $[0; 3\pi]$.
При $n=0$: $-\frac{\pi}{2} < x < arctg(4)$. Пересечение с отрезком $[0; 3\pi]$ дает $[0; arctg(4))$.
При $n=1$: $\frac{\pi}{2} < x < arctg(4) + \pi$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=2$: $\frac{3\pi}{2} < x < arctg(4) + 2\pi$. Этот интервал также полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=3$: $\frac{5\pi}{2} < x < arctg(4) + 3\pi$. Пересечение с отрезком $[0; 3\pi]$ дает $(\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.
При $n \ge 4$ или $n < 0$ решений на заданном отрезке нет.
Объединяя найденные интервалы, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [0; arctg(4)) \cup (\frac{\pi}{2}; arctg(4) + \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}; arctg(4) + 2\pi) \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.

3) tg x ≤ -4;

Общее решение неравенства $tg \ x \leq a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для неравенства $tg \ x \leq -4$ общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq arctg(-4) + \pi n$. Используя свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \pi n - arctg(4)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на отрезке $[0; 3\pi]$.
При $n=0$: $-\frac{\pi}{2} < x \leq -arctg(4)$. Решения отрицательны, не входят в $[0; 3\pi]$.
При $n=1$: $\frac{\pi}{2} < x \leq \pi - arctg(4)$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=2$: $\frac{3\pi}{2} < x \leq 2\pi - arctg(4)$. Этот интервал также полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=3$: $\frac{5\pi}{2} < x \leq 3\pi - arctg(4)$. Этот интервал также полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n \ge 4$ или $n < 1$ решений на заданном отрезке нет.
Объединяя найденные интервалы, получаем ответ.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi - arctg(4)] \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi - arctg(4)] \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi - arctg(4)]$.

4) tg x > -3.

Общее решение неравенства $tg \ x > a$ имеет вид $arctg(a) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для неравенства $tg \ x > -3$ общее решение: $arctg(-3) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$. Используя свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем: $\pi n - arctg(3) < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на отрезке $[0; 3\pi]$.
При $n=0$: $-arctg(3) < x < \frac{\pi}{2}$. Пересечение с отрезком $[0; 3\pi]$ дает $[0; \frac{\pi}{2})$.
При $n=1$: $\pi - arctg(3) < x < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=2$: $2\pi - arctg(3) < x < \frac{5\pi}{2}$. Этот интервал также полностью входит в отрезок $[0; 3\pi]$.
При $n=3$: $3\pi - arctg(3) < x < \frac{7\pi}{2}$. Пересечение с отрезком $[0; 3\pi]$ дает $(3\pi - arctg(3); 3\pi]$.
При $n \ge 4$ или $n < 0$ решений на заданном отрезке нет.
Объединяя найденные интервалы, получаем ответ.
Ответ: $x \in [0; \frac{\pi}{2}) \cup (\pi - arctg(3); \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi - arctg(3); \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi - arctg(3); 3\pi]$.