Номер 746, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 746, страница 222.

Условие.

Построить график функции (746—748).

746 1) $y = \text{tg} |x|$; 2) $y = |\text{tg} x|$; 3) $y = \text{ctg} x$; 4) $y = \frac{1}{\text{ctg} x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \tg|x|$

Для построения графика функции $y = \tg|x|$ используется правило построения графика функции $y = f(|x|)$ из графика $y = f(x)$.

1. Сначала строится график функции $y = \tg x$ для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$.
2. Часть графика, находящаяся в левой полуплоскости (где $x < 0$), отбрасывается.
3. Построенная для $x \ge 0$ часть графика отражается симметрично относительно оси ординат (оси Oy).

Функция $y = \tg|x|$ является четной, так как $y(-x) = \tg|-x| = \tg|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Для $x \ge 0$, функция совпадает с $y = \tg x$. График на этом участке имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ при $k=0, 1, 2, \dots$. Например, ветвь на интервале $[0, \frac{\pi}{2})$ начинается в точке $(0,0)$ и уходит в $+\infty$ при приближении $x$ к $\frac{\pi}{2}$.

Отразив эту часть графика относительно оси Oy, мы получим вторую половину графика для $x < 0$. Ветвь на интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0]$ будет симметрична ветви на $[0, \frac{\pi}{2})$, она также будет начинаться в $(0,0)$ и уходить в $+\infty$ при приближении $x$ к $-\frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты для $x < 0$ будут в точках $x = -(\frac{\pi}{2} + k\pi)$ при $k=0, 1, 2, \dots$. В итоге, асимптоты будут во всех точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ для любого целого $n$.

Ответ: График функции $y = \tg|x|$ строится следующим образом: сначала строится график $y = \tg x$ для $x \ge 0$, а затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси Oy. График является четной функцией, симметричен относительно оси ординат и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = |\tg x|$

Для построения графика функции $y = |\tg x|$ используется правило построения графика функции $y = |f(x)|$ из графика $y = f(x)$.

1. Сначала строится график функции $y = \tg x$.
2. Часть графика, которая лежит выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается без изменений.
3. Часть графика, которая лежит ниже оси абсцисс (где $y < 0$), отражается симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox).

График функции $y = \tg x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. На интервалах $(k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ тангенс положителен, а на интервалах $(\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi)$ тангенс отрицателен.При построении графика $y = |\tg x|$:

• Ветви на интервалах $(k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ остаются на месте.
• Ветви на интервалах $(\frac{\pi}{2} + (k-1)\pi, k\pi)$ (например, на $(-\frac{\pi}{2}, 0)$), которые были отрицательными, отражаются вверх. Теперь они также будут уходить к $+\infty$ при приближении к асимптотам.

В результате весь график функции $y = |\tg x|$ будет находиться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Период функции сохраняется и равен $\pi$. Область определения функции не меняется: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Область значений становится $[0, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = |\tg x|$ получается из графика $y = \tg x$ путем отражения всех частей графика, лежащих ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Части графика, лежащие выше оси Ox, остаются без изменений. Весь график лежит не ниже оси Ox, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ сохраняются.

3) $y = \ctg x$

Функция $y = \ctg x$ является одной из основных тригонометрических функций. Для построения её графика, называемого котангенсоидой, проанализируем её свойства:

• Область определения: $x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках знаменатель $\sin x$ в определении котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ равен нулю.
• Область значений: $(-\infty, +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.
• Четность: Функция нечетная, так как $\ctg(-x) = -\ctg(x)$. Её график симметричен относительно начала координат.
• Вертикальные асимптоты: Прямые $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y=0$ при $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: Функция убывает на каждом интервале своей области определения.

Для построения достаточно построить одну ветвь графика, например, на интервале $(0, \pi)$.

• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.
• При $x \to \pi^-$, $y \to -\infty$.
• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция равна нулю.
• В точке $x = \frac{\pi}{4}$ значение $y=1$. В точке $x = \frac{3\pi}{4}$ значение $y=-1$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим ветвь котангенсоиды. Затем, используя периодичность, повторяем эту ветвь вдоль оси Ox с шагом $\pi$.

Ответ: График функции $y = \ctg x$ (котангенсоида) — это периодическая кривая с периодом $\pi$. Он состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь расположена между двумя вертикальными асимптотами $x=k\pi$ и $x=(k+1)\pi$ и является убывающей функцией от $+\infty$ до $-\infty$. График пересекает ось Ox в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

4) $y = \frac{1}{\ctg x}$

Хотя тригонометрическое тождество гласит, что $\tg x = \frac{1}{\ctg x}$, функции $y = \tg x$ и $y = \frac{1}{\ctg x}$ не являются полностью тождественными, так как у них разные области определения.

Найдем область определения функции $y = \frac{1}{\ctg x}$:

1. Котангенс $y = \ctg x$ должен быть определен. Это выполняется при $x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\ctg x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции $y = \frac{1}{\ctg x}$ есть все действительные числа, кроме $x = k\pi$ и $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Это можно объединить в одно условие: $x \neq \frac{m\pi}{2}$ для любого целого $m$.

Область определения функции $y = \tg x$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.

Сравнивая области определения, мы видим, что функция $y = \frac{1}{\ctg x}$ не определена в точках $x = k\pi$, в то время как функция $y = \tg x$ в этих точках определена и равна нулю ($\tg(k\pi) = 0$).

Следовательно, для построения графика функции $y = \frac{1}{\ctg x}$ нужно:

1. Построить график функции $y = \tg x$ (тангенсоиду). Это периодическая кривая с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.
2. На полученном графике "выколоть" (удалить) точки, в которых функция $y = \frac{1}{\ctg x}$ не определена. Это точки с абсциссами $x = k\pi$. В этих точках график тангенса пересекает ось Ox.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{\ctg x}$ совпадает с графиком функции $y = \tg x$ во всех точках, кроме точек с абсциссами $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. В этих точках на графике $y = \tg x$ (которые являются точками пересечения с осью Ox) следует нарисовать выколотые точки (пустые кружочки), так как в них функция $y = \frac{1}{\ctg x}$ не определена.