Номер 752, страница 226 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 752, страница 226.

Условие.

752 1) $ \operatorname{arctg} 2\sqrt{3} $ и $ \operatorname{arctg} 3\sqrt{2} $;

2) $ \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ и $ \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения двух значений арккотангенса воспользуемся свойством убывания функции $y = \text{arcctg}(x)$ на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $\text{arcctg}(x_1) > \text{arcctg}(x_2)$.

Сравним аргументы данных функций: $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Это поможет избавиться от иррациональности и упростить сравнение:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Поскольку $12 < 18$, то и $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Так как функция $\text{arcctg}(x)$ является строго убывающей, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, из того, что $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$, следует, что $\text{arcctg}(2\sqrt{3}) > \text{arcctg}(3\sqrt{2})$.

Ответ: $\text{arcctg } 2\sqrt{3} > \text{arcctg } 3\sqrt{2}$.

2) Аналогично первому пункту, используем свойство убывания функции $y = \text{arcctg}(x)$.

Сравним аргументы: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Сначала сравним абсолютные величины этих чисел, то есть $\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Так как $5 > 2$, то $\sqrt{5} > \sqrt{2}$.

Для положительных чисел, чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби, поэтому $\frac{1}{\sqrt{5}} < \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь сравним отрицательные числа. При умножении обеих частей неравенства на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{1}{\sqrt{5}} > -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Поскольку функция $\text{arcctg}(x)$ является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$, то $\text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) > \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

Ответ: $\text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) > \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.