Номер 754, страница 226 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 754, страница 226.

Условие.

754 1) $\arccos (2x + 3) = \frac{\pi}{3};$

2) $\arccos (3x + 1) = \frac{\pi}{2};$

3) $\arccos \frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3};$

4) $\arccos \frac{2x-1}{3} = \pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $arccos(2x + 3) = \frac{\pi}{3}$.
По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Так как $\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому отрезку, уравнение имеет решение.
Применим определение к нашему уравнению: $2x + 3 = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение косинуса для $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$.
Подставим это значение в уравнение: $2x + 3 = \frac{1}{2}$.
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$2x = \frac{1}{2} - 3$
$2x = \frac{1}{2} - \frac{6}{2}$
$2x = -\frac{5}{2}$
$x = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $x = -1.25$.

2) Дано уравнение $arccos(3x + 1) = \frac{\pi}{2}$.
Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$.
По определению арккосинуса, получаем: $3x + 1 = \cos(\frac{\pi}{2})$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Следовательно, уравнение принимает вид: $3x + 1 = 0$.
Решаем уравнение:
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение $arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$.
Применяя определение арккосинуса, получаем: $\frac{x+1}{3} = \cos(\frac{2\pi}{3})$.
Значение косинуса для $\frac{2\pi}{3}$ равно $-\frac{1}{2}$.
Подставляем это значение: $\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$.
Решаем уравнение для $x$:
$2(x+1) = -3$
$2x + 2 = -3$
$2x = -5$
$x = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $x = -2.5$.

4) Дано уравнение $arccos\frac{2x-1}{3} = \pi$.
Значение $\pi$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$.
По определению арккосинуса: $\frac{2x-1}{3} = \cos(\pi)$.
Значение $\cos(\pi) = -1$.
Получаем уравнение: $\frac{2x-1}{3} = -1$.
Решаем его относительно $x$:
$2x - 1 = -3$
$2x = -3 + 1$
$2x = -2$
$x = -1$.
Ответ: $x = -1$.