Номер 753, страница 226 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 753, страница 226.

Условие.

Решить уравнение (753—755).

753 1) $ \arcsin (2 - 3x) = \frac{\pi}{6} $;

2) $ \arcsin (3 - 2x) = \frac{\pi}{4} $;

3) $ \arcsin \frac{x - 2}{4} = -\frac{\pi}{4} $;

4) $ \arcsin \frac{x + 3}{2} = -\frac{\pi}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\arcsin(2 - 3x) = \frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом должно выполняться условие $|a| \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении правая часть $b = \frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$, значит, уравнение имеет решение.

Исходя из определения, уравнение равносильно следующему:

$2 - 3x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.

$2 - 3x = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$.

$3x = 2 - \frac{1}{2}$

$3x = \frac{4}{2} - \frac{1}{2}$

$3x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x$ области определения арксинуса, то есть условию $|2 - 3x| \le 1$.

При $x = \frac{1}{2}$ имеем: $2 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $|\frac{1}{2}| \le 1$, решение верно.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $\arcsin(3 - 2x) = \frac{\pi}{4}$

По определению арксинуса, уравнение можно переписать в виде:

$3 - 2x = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим уравнение относительно $x$.

$2x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{3 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$

$x = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$x = \frac{6 - \sqrt{2}}{4}$

Проверка условия для аргумента арксинуса: $3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $|\frac{\sqrt{2}}{2}| \approx 0.707 \le 1$, решение корректно.

Ответ: $x = \frac{6 - \sqrt{2}}{4}$.

3) $\arcsin\left(\frac{x - 2}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}$

Согласно определению арксинуса, имеем:

$\frac{x - 2}{4} = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Значение $-\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем это значение в уравнение:

$\frac{x - 2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на 4:

$x - 2 = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$x - 2 = -2\sqrt{2}$

$x = 2 - 2\sqrt{2}$

Проверка: аргумент арксинуса $\frac{x-2}{4}$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $|-\frac{\sqrt{2}}{2}| \le 1$, решение является допустимым.

Ответ: $x = 2 - 2\sqrt{2}$.

4) $\arcsin\left(\frac{x + 3}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$

По определению арксинуса, данное уравнение эквивалентно следующему:

$\frac{x + 3}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Значение $-\frac{\pi}{3}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Вычислим значение синуса:

$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{x + 3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$x + 3 = -\sqrt{3}$

$x = -3 - \sqrt{3}$

Проверка: аргумент арксинуса $\frac{x+3}{2}$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $|-\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx |-0.866| \le 1$, решение является допустимым.

Ответ: $x = -3 - \sqrt{3}$.