Номер 756, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

756 Найти область определения функции:

1) $y = \arcsin \frac{x-3}{2};$

2) $y = \arccos (2 - 3x);$

3) $y = \arccos (2 \sqrt{x-3});$

4) $y = \arcsin \frac{2x^2-5}{3}.$

1) $y = \arcsin\frac{x-3}{2}$

Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(u)$, задается условием $-1 \le u \le 1$. В нашем случае $u = \frac{x-3}{2}$.

Следовательно, мы должны решить двойное неравенство:

$-1 \le \frac{x-3}{2} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-1 \cdot 2 \le x-3 \le 1 \cdot 2$

$-2 \le x-3 \le 2$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-2 + 3 \le x \le 2 + 3$

$1 \le x \le 5$

Таким образом, область определения функции — это отрезок $[1; 5]$.

Ответ: $x \in [1; 5]$.

2) $y = \arccos(2 - 3x)$

Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(u)$, также задается условием $-1 \le u \le 1$. Здесь $u = 2 - 3x$.

Решаем неравенство:

$-1 \le 2 - 3x \le 1$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 - 2 \le -3x \le 1 - 2$

$-3 \le -3x \le -1$

Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-3}{-3} \ge x \ge \frac{-1}{-3}$

$1 \ge x \ge \frac{1}{3}$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:

$\frac{1}{3} \le x \le 1$

Область определения функции — это отрезок $[\frac{1}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

3) $y = \arccos(2\sqrt{x-3})$

Эта функция имеет два ограничения на область определения:

1. Аргумент подкоренного выражения должен быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$.

2. Аргумент функции арккосинус должен лежать в пределах от -1 до 1: $-1 \le 2\sqrt{x-3} \le 1$.

Эти условия должны выполняться одновременно, поэтому решаем систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ -1 \le 2\sqrt{x-3} \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Решим второе неравенство: $-1 \le 2\sqrt{x-3} \le 1$.

Заметим, что выражение $2\sqrt{x-3}$ всегда неотрицательно (по определению арифметического квадратного корня). Поэтому левая часть неравенства, $2\sqrt{x-3} \ge -1$, выполняется для всех $x$, при которых корень определен (т.е. при $x \ge 3$).

Остается решить правую часть неравенства:

$2\sqrt{x-3} \le 1$

$\sqrt{x-3} \le \frac{1}{2}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 \le (\frac{1}{2})^2$

$x-3 \le \frac{1}{4}$

$x \le 3 + \frac{1}{4}$

$x \le \frac{13}{4}$

Теперь найдем пересечение решений двух исходных условий: $x \ge 3$ и $x \le \frac{13}{4}$.

$3 \le x \le \frac{13}{4}$

Область определения функции — это отрезок $[3; \frac{13}{4}]$.

Ответ: $x \in [3; \frac{13}{4}]$.

4) $y = \arcsin\frac{2x^2-5}{3}$

Область определения функции арксинус задается условием $-1 \le u \le 1$. В данном случае $u = \frac{2x^2-5}{3}$.

Составим и решим двойное неравенство:

$-1 \le \frac{2x^2-5}{3} \le 1$

Умножим все части на 3:

$-3 \le 2x^2-5 \le 3$

Прибавим 5 ко всем частям:

$-3 + 5 \le 2x^2 \le 3 + 5$

$2 \le 2x^2 \le 8$

Разделим все части на 2:

$1 \le x^2 \le 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 \ge 1$:

$x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$.

Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 \le 4$:

$x^2 - 4 \le 0 \implies (x-2)(x+2) \le 0$.

Решением является отрезок $x \in [-2; 2]$.

Найдем пересечение этих двух решений: $((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)) \cap [-2; 2]$.

Пересечение дает нам два отрезка: $[-2; -1]$ и $[1; 2]$.

Таким образом, область определения функции — это объединение отрезков $[-2; -1]$ и $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.