Номер 763, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 763, страница 227.

Условие.

763 Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут- ку $[-2\pi; -\pi]$:

1) $1 + 2 \cos x \ge 0;$

2) $1 - 2 \sin x < 0;$

3) $2 + \operatorname{tg} x > 0;$

4) $1 - 2 \operatorname{tg} x \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 + 2 \cos x \ge 0$

Сначала преобразуем данное неравенство:

$2 \cos x \ge -1$

$\cos x \ge -\frac{1}{2}$

Общее решение этого неравенства можно найти с помощью тригонометрической окружности. Косинус соответствует абсциссе (x-координате) точки на окружности. Значения $x$, для которых $\cos x \ge -\frac{1}{2}$, образуют интервалы $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n$ — любое целое число.

Теперь нам нужно выбрать те решения, которые попадают в заданный промежуток $[-2\pi; -\pi]$. Для этого подберем подходящее значение $n$.

Возьмем $n = -1$. Тогда интервал решений будет:

$[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1), \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1)] = [-\frac{2\pi}{3} - 2\pi, \frac{2\pi}{3} - 2\pi] = [-\frac{8\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}]$.

Найдем пересечение этого интервала с промежутком $[-2\pi; -\pi]$.

Так как $-2\pi = -\frac{6\pi}{3}$, а $-\frac{8\pi}{3} < -\frac{6\pi}{3}$, и $-\frac{4\pi}{3} > -\pi$, пересечением будет промежуток от $\max(-\frac{8\pi}{3}, -2\pi)$ до $\min(-\frac{4\pi}{3}, -\pi)$, то есть $[-2\pi, -\frac{4\pi}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2\pi, -\frac{4\pi}{3}]$.

2) $1 - 2 \sin x < 0$

Преобразуем неравенство:

$1 < 2 \sin x$

$\sin x > \frac{1}{2}$

Синус соответствует ординате (y-координате) точки на тригонометрической окружности. Нам нужны значения $x$, для которых ордината точки больше $\frac{1}{2}$.

Общее решение этого неравенства: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n$ — любое целое число.

Найдем решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$. Подберем $n$.

При $n = -1$ получаем интервал:

$(\frac{\pi}{6} + 2\pi(-1), \frac{5\pi}{6} + 2\pi(-1)) = (\frac{\pi}{6} - 2\pi, \frac{5\pi}{6} - 2\pi) = (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$.

Проверим, входит ли этот интервал в заданный промежуток $[-2\pi; -\pi]$.

$-2\pi = -\frac{12\pi}{6}$ и $-\pi = -\frac{6\pi}{6}$.

Поскольку $-\frac{12\pi}{6} < -\frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{7\pi}{6} < -\frac{6\pi}{6}$, интервал $(-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$ целиком лежит внутри промежутка $[-2\pi; -\pi]$.

Ответ: $x \in (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$.

3) $2 + \tg x > 0$

Преобразуем неравенство:

$\tg x > -2$

Функция $\tg x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В заданном промежутке $[-2\pi; -\pi]$ такая точка одна: $x = -\frac{3\pi}{2}$. Она делит промежуток на два интервала: $[-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$ и $(-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$.

Рассмотрим каждый из них:

1. На интервале $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$ функция $\tg x$ возрастает от $\tg(-2\pi) = 0$ до $+\infty$. Поскольку все значения $\tg x$ на этом интервале неотрицательны, они заведомо больше $-2$. Следовательно, весь интервал $[-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$ является решением.

2. На интервале $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$ функция $\tg x$ возрастает от $-\infty$ до $\tg(-\pi)=0$. Чтобы решить неравенство $\tg x > -2$, найдем, где $\tg x = -2$. Решение этого уравнения на данном интервале — $x = \arctan(-2) - \pi$. Поскольку $\tg x$ — возрастающая функция, неравенство $\tg x > -2$ будет выполняться для $x > \arctan(-2) - \pi$. Таким образом, решение на этом участке — $(\arctan(-2) - \pi, -\pi]$.

Объединяя решения с обоих участков, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2}) \cup (\arctan(-2) - \pi, -\pi]$.

4) $1 - 2 \tg x \le 0$

Преобразуем неравенство:

$1 \le 2 \tg x$

$\tg x \ge \frac{1}{2}$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два интервала на промежутке $[-2\pi; -\pi]$, разделенных точкой разрыва $x = -\frac{3\pi}{2}$.

1. На интервале $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$ функция $\tg x$ возрастает от $0$ до $+\infty$. Найдем, при каком значении $x$ на этом интервале $\tg x = \frac{1}{2}$. Решение уравнения — $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$. Для нашего интервала подходит $k = -2$, что дает $x = \arctan(\frac{1}{2}) - 2\pi$. Так как $\tg x$ возрастает, неравенство $\tg x \ge \frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, больших или равных этому значению. Решение на этом участке: $[\arctan(\frac{1}{2}) - 2\pi, -\frac{3\pi}{2})$.

2. На интервале $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$ функция $\tg x$ принимает значения от $-\infty$ до $0$. Поскольку все эти значения меньше $\frac{1}{2}$, на этом интервале решений нет.

Итоговое решение — это решение, найденное на первом участке.

Ответ: $x \in [\arctan(\frac{1}{2}) - 2\pi, -\frac{3\pi}{2})$.