Номер 765, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 765, страница 228.

Условие.

765 Найти область определения функции:

1) $y = \text{tg} \left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)$;

2) $y = \sqrt{\text{tg} x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $y = \text{tg}(2x+\frac{\pi}{6})$. Область определения функции тангенс ($ \text{tg} \, \alpha $) — это все значения аргумента $ \alpha $, для которых косинус этого аргумента не равен нулю ($ \cos \alpha \neq 0 $). Это условие выполняется, когда $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае аргументом тангенса является выражение $ 2x + \frac{\pi}{6} $. Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
$ 2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z $
Выразим $x$ из этого соотношения:
$ 2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n $
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ 2x \neq \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n $
$ 2x \neq \frac{2\pi}{6} + \pi n $
$ 2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n $
Разделим обе части на 2:
$ x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $
Таким образом, область определения функции – это все действительные числа, за исключением $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} $ для всех целых $n$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z$.

2) Дана функция $y = \sqrt{\text{tg}\,x}$. Область определения этой функции задается двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $ \text{tg}\,x \ge 0 $.
2. Сама функция $ \text{tg}\,x $ должна быть определена. Область определения тангенса: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.
Второе условие автоматически учитывается при решении первого неравенства, так как в точках $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $ тангенс не определен, а значит, не может быть ни больше, ни равен нулю.
Решим неравенство $ \text{tg}\,x \ge 0 $. Функция тангенса является периодической с периодом $ \pi $. Она неотрицательна, когда угол $x$ находится в I или III координатной четверти (включая границы, где тангенс равен нулю).
На базовом промежутке $[0, \pi)$ тангенс неотрицателен при $ x \in [0, \frac{\pi}{2}) $.
Учитывая периодичность, добавляем $ \pi n $ к границам интервала и получаем общее решение:
$ \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z $
Левая граница $ \pi n $ включена в промежуток, так как $ \text{tg}(\pi n) = 0 $, и $ \sqrt{0} $ определен. Правая граница $ \frac{\pi}{2} + \pi n $ не включена (строгое неравенство), так как в этих точках тангенс не определен.
Ответ: $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), \quad n \in Z$.