Номер 767, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 767, страница 228.

Условие.

767 Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

1) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$;

2) $y = \sin x \operatorname{tg} x$;

3) $y = \sin x |\cos x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы выяснить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо проверить её на соответствие определениям. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция называется нечётной, если её область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) Рассмотрим функцию $y(x) = \sin x + \tg x$.
1. Найдём область определения функции. Функция $\tg x$ определена для всех $x$, при которых $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.
2. Проверим, как ведёт себя функция при замене $x$ на $-x$.
$y(-x) = \sin(-x) + \tg(-x)$.
Используем свойства тригонометрических функций: синус и тангенс являются нечётными функциями, то есть $\sin(-x) = -\sin x$ и $\tg(-x) = -\tg x$.
$y(-x) = -\sin x - \tg x = -(\sin x + \tg x) = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

2) Рассмотрим функцию $y(x) = \sin x \tg x$.
1. Область определения функции та же, что и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.
2. Проверим функцию на чётность.
$y(-x) = \sin(-x) \tg(-x)$.
Поскольку $\sin(-x) = -\sin x$ и $\tg(-x) = -\tg x$:
$y(-x) = (-\sin x) \cdot (-\tg x) = \sin x \tg x = y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.

3) Рассмотрим функцию $y(x) = \sin x |\cos x|$.
1. Область определения. Функции $\sin x$ и $|\cos x|$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y) = \mathbb{R}$, которая является симметричной.
2. Проверим функцию на чётность.
$y(-x) = \sin(-x) |\cos(-x)|$.
Используем свойства: синус — нечётная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), а косинус — чётная ($\cos(-x) = \cos x$), следовательно, $|\cos(-x)| = |\cos x|$.
$y(-x) = (-\sin x) \cdot |\cos x| = -(\sin x |\cos x|) = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.