Номер 773, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 773, страница 228.

Условие.

773 Построить график функции:

1) $y = 2 \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - 2;$

2) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2 \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - 2$

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика функции $y = \sin(x)$.

Запишем функцию в виде $y = A \sin(k(x+b)) + d$:
$y = 2 \sin\left(\frac{1}{2}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\right) - 2$

Этапы построения графика:

1. Начнем с графика функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $1$.

2. Построим график функции $y_2 = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. Это преобразование соответствует растяжению графика $y_1 = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Период новой функции $T_2 = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Построим график функции $y_3 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\right)$. Это преобразование соответствует сдвигу графика $y_2 = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$ вдоль оси абсцисс влево на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.

4. Построим график функции $y_4 = 2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$. Это преобразование соответствует растяжению графика $y_3$ вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Амплитуда функции теперь равна 2. Область значений этой функции: $E(y_4) = [-2, 2]$.

5. Построим итоговый график функции $y = 2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - 2$. Это преобразование соответствует сдвигу графика $y_4$ вдоль оси ординат вниз на 2 единицы. Новая ось симметрии графика — прямая $y = -2$.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = 4\pi$.

• Амплитуда: $A = 2$.

• Область значений: $E(y) = [-2-2, 2-2] = [-4, 0]$.

Найдем ключевые точки для одного периода, например, на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}]$:

• Начальная точка периода (синус равен 0, идет возрастание): $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{2\pi}{3}$. $y = 2\sin(0) - 2 = -2$. Точка $\left(-\frac{2\pi}{3}, -2\right)$.

• Точка максимума (синус равен 1): $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$. $y = 2(1) - 2 = 0$. Точка $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$.

• Точка пересечения со средней линией (синус равен 0, идет убывание): $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pi \Rightarrow x = \frac{4\pi}{3}$. $y = 2(0) - 2 = -2$. Точка $\left(\frac{4\pi}{3}, -2\right)$.

• Точка минимума (синус равен -1): $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{3}$. $y = 2(-1) - 2 = -4$. Точка $\left(\frac{7\pi}{3}, -4\right)$.

• Конечная точка периода: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow x = \frac{10\pi}{3}$. $y = 2(0) - 2 = -2$. Точка $\left(\frac{10\pi}{3}, -2\right)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ является синусоидой, полученной из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: растяжением по оси Ox в 2 раза (период стал $4\pi$), сдвигом влево на $\frac{2\pi}{3}$, растяжением по оси Oy в 2 раза (амплитуда стала 2) и сдвигом вниз на 2 единицы. Область значений функции — отрезок $[-4, 0]$. График колеблется относительно прямой $y = -2$.

2) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x}$

Для построения графика сначала упростим выражение. Используем свойство квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Таким образом, функция принимает вид:
$y = \cos x - |\cos x|$.

Теперь рассмотрим два случая, в зависимости от знака $\cos x$.

Случай 1: $\cos x \ge 0$

Это условие выполняется для $x$, принадлежащих интервалам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n$ — любое целое число. В этом случае, $|\cos x| = \cos x$. Подставляем в функцию:
$y = \cos x - \cos x = 0$.

Случай 2: $\cos x < 0$

Это условие выполняется для $x$, принадлежащих интервалам $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n$ — любое целое число. В этом случае, $|\cos x| = -\cos x$. Подставляем в функцию:
$y = \cos x - (-\cos x) = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию. Для построения графика нужно нарисовать соответствующие части на указанных интервалах.

Рассмотрим построение на одном периоде, например, от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ (длина этого отрезка равна $2\pi$).

• На интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется условие $\cos x \ge 0$, поэтому график функции совпадает с прямой $y=0$. Это отрезок оси абсцисс.

• На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ выполняется условие $\cos x < 0$, поэтому график функции совпадает с графиком $y=2\cos x$. Это часть косинусоиды, растянутой в 2 раза вдоль оси ординат.
  - В точке $x=\pi$ функция достигает своего минимума: $y = 2\cos(\pi) = 2(-1) = -2$.
  - В точках $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$ значения функции стремятся к $2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, что обеспечивает непрерывность графика в точках "склейки".

Итоговый график является периодическим с периодом $T=2\pi$. Он состоит из чередующихся отрезков на оси Ox и "арок" графика $y=2\cos x$, обращенных вниз. Область значений функции — отрезок $[-2, 0]$.

Ответ: График функции $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x}$ строится следующим образом: на интервалах, где $\cos x \ge 0$ (например, $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$), график совпадает с осью Ox ($y=0$). На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), график совпадает с функцией $y=2\cos x$. График представляет собой периодическую кривую с периодом $2\pi$, состоящую из отрезков на оси абсцисс и "впадин" косинусоиды с амплитудой 2.