Номер 779, страница 235 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 44. Производная. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 779, страница 235.

779. Закон движения задан формулой $s(t) = 0,25t + 2$. Найти:

1) среднюю скорость движения от $t=4$ до $t=8$;

2) скорость движения в моменты $t=4$ и $t=8$.

1) среднюю скорость движения от t = 4 до t = 8;

Закон движения задан формулой $s(t) = 0,25t + 2$.
Средняя скорость движения $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

В данном случае $t_1 = 4$ и $t_2 = 8$.
Сначала найдем положение тела в эти моменты времени:

$s(t_1) = s(4) = 0,25 \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$s(t_2) = s(8) = 0,25 \cdot 8 + 2 = 2 + 2 = 4$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{s(8) - s(4)}{8 - 4} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: 0,25.

2) скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.

Скорость движения (мгновенная скорость) $v(t)$ в определенный момент времени $t$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную от заданной функции $s(t) = 0,25t + 2$:

$v(t) = (0,25t + 2)' = (0,25t)' + (2)' = 0,25 \cdot 1 + 0 = 0,25$.

Полученное выражение для скорости $v(t) = 0,25$ является константой, то есть скорость не зависит от времени. Это означает, что движение является равномерным.
Следовательно, в любой момент времени, в том числе при $t = 4$ и $t = 8$, скорость будет одинаковой.

$v(4) = 0,25$.
$v(8) = 0,25$.

Ответ: скорость в момент $t = 4$ равна 0,25; скорость в момент $t = 8$ равна 0,25.