Номер 782, страница 235 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 44. Производная - номер 782, страница 235.

Условие.

782 Найти мгновенную скорость движения точки, если закон её движения s (t) задан формулой:

1) $s(t) = \frac{3}{2} t^2$;

2) $s(t) = 5t^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ является производной от функции, описывающей закон её движения $s(t)$ по времени $t$. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, необходимо найти производную функции $s(t)$: $v(t) = s'(t)$.

Для нахождения производной будем использовать формулу производной степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(t))' = c \cdot f'(t)$.

1)

Задан закон движения: $s(t) = \frac{3}{2}t^2$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{3}{2}t^2\right)'$.

Выносим константу $\frac{3}{2}$ за знак производной:

$v(t) = \frac{3}{2} \cdot (t^2)'$.

Применяем формулу для производной степенной функции, где $n=2$:

$v(t) = \frac{3}{2} \cdot 2t^{2-1} = \frac{3}{2} \cdot 2t$.

Сокращаем двойки и получаем конечную формулу для мгновенной скорости:

$v(t) = 3t$.

Ответ: $v(t) = 3t$.

2)

Задан закон движения: $s(t) = 5t^2$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (5t^2)'$.

Выносим константу $5$ за знак производной:

$v(t) = 5 \cdot (t^2)'$.

Применяем формулу для производной степенной функции, где $n=2$:

$v(t) = 5 \cdot 2t^{2-1} = 5 \cdot 2t$.

Вычисляем произведение и получаем конечную формулу для мгновенной скорости:

$v(t) = 10t$.

Ответ: $v(t) = 10t$.