Номер 789, страница 238 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 789, страница 238.

Условие.

789 1) $x^{\frac{1}{2}}$;

2) $x^{\frac{2}{3}}$;

3) $x^{-\frac{2}{7}}$;

4) $x^{\sqrt{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Степень с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ (где $n$ - натуральное число, $m$ - целое число) определяется как корень $n$-ой степени из $a$ в степени $m$, то есть $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае имеем $x^{\frac{1}{2}}$. Здесь основание $a=x$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=2$. Применяя формулу, получаем: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt{x}$. Выражение $\sqrt{x}$ определено при неотрицательных значениях подкоренного выражения, то есть при $x \ge 0$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

2) Используем ту же формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Для выражения $x^{\frac{2}{3}}$ имеем $a=x$, $m=2$, $n=3$. Следовательно, $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$. Так как показатель корня $n=3$ является нечетным числом, данное выражение определено для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ при $x \in \mathbb{R}$.

3) Сначала преобразуем выражение с отрицательным показателем, используя свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$. Получаем $x^{-\frac{2}{7}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$. Теперь представим знаменатель в виде корня по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Для $x^{\frac{2}{7}}$ имеем $a=x$, $m=2$, $n=7$, поэтому $x^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{x^2}$. Таким образом, $x^{-\frac{2}{7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^2}}$. Выражение определено, когда знаменатель не равен нулю. Знаменатель $\sqrt[7]{x^2}$ равен нулю только при $x=0$. Показатель корня $n=7$ нечетный, поэтому подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно. Следовательно, единственное ограничение — это $x \neq 0$.
Ответ: $x^{-\frac{2}{7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^2}}$ при $x \neq 0$.

4) В выражении $x^{\sqrt{3}}$ показатель степени $\sqrt{3}$ является иррациональным числом. Степень с иррациональным показателем $a^p$ по определению рассматривается только для неотрицательных оснований $a \ge 0$. Для $a=0$ имеем $0^{\sqrt{3}} = 0$, а для $a>0$ выражение $a^{\sqrt{3}}$ является положительным действительным числом. В отличие от рациональных показателей, иррациональные показатели не могут быть представлены в виде корня. Поэтому выражение $x^{\sqrt{3}}$ является окончательной формой, и для него нужно лишь указать область определения.
Ответ: выражение $x^{\sqrt{3}}$ определено при $x \ge 0$.