Номер 792, страница 238 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 792, страница 238.

Условие.

792 1) $ \sqrt[3]{2x+7} $;

2) $ \sqrt[4]{7-3x} $;

3) $ \sqrt[4]{3x} $;

4) $ \sqrt[3]{5x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное выражение $\sqrt[3]{2x+7}$ является корнем нечетной степени (кубическим корнем). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Следовательно, выражение $2x+7$ может принимать любые действительные значения. Это означает, что переменная $x$ может быть любым действительным числом. Область определения — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Данное выражение $\sqrt[4]{7-3x}$ является корнем четной степени (корень четвертой степени). Корень четной степени определен только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю). Поэтому необходимо решить неравенство:

$7 - 3x \ge 0$

Перенесем 7 в правую часть:

$-3x \ge -7$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-7}{-3}$

$x \le \frac{7}{3}$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \le \frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{3}]$.

3) Данное выражение $\sqrt[4]{3x}$ является корнем четной степени (корень четвертой степени). По определению корня четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$3x \ge 0$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 0$

Следовательно, выражение определено для всех неотрицательных значений $x$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

4) Данное выражение $\sqrt[3]{5x}$ является корнем нечетной степени (кубическим корнем). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Значит, выражение $5x$ может быть любым действительным числом. Это возможно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.