Номер 797, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 797, страница 239.

Условие.

797 При каких значениях $x$ производная функции $f(x)$ равна 1, если:

1) $f(x) = x^3$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = x^3$.

Сначала найдем производную этой функции. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Теперь, согласно условию задачи, приравняем производную к 1 и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 1$

$3x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{3}$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, производная функции равна 1 при двух значениях $x$.

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.

Сначала представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования:

$f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.

Найдем производную, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$.

Производную можно также записать в виде $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Отметим, что производная не определена при $x=0$.

Теперь приравняем производную к 1, как требуется в условии:

$f'(x) = 1$

$\frac{2}{3}x^{-1/3} = 1$

Выразим $x^{-1/3}$:

$x^{-1/3} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень -3:

$(x^{-1/3})^{-3} = (\frac{3}{2})^{-3}$

$x^1 = (\frac{2}{3})^3$

$x = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Это значение не равно нулю, поэтому производная в этой точке существует.

Ответ: $x = \frac{8}{27}$.