Номер 798, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 798, страница 239.

Условие.

798 Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону $s(t) = \sqrt{t+1}$, в момент времени $t = 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Мгновенная скорость тела $v(t)$ в любой момент времени $t$ является производной от функции, описывающей закон движения $s(t)$, по времени $t$. Иными словами, $v(t) = s'(t)$.

Закон движения тела задан функцией:

$s(t) = \sqrt{t+1}$

Для нахождения мгновенной скорости найдем производную функции $s(t)$. Удобнее представить корень как степень $1/2$:

$s(t) = (t+1)^{1/2}$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней степенной функции $(u^{1/2})'$ равна $\frac{1}{2}u^{-1/2}$, а производная внутренней функции $(t+1)'$ равна 1.

$v(t) = s'(t) = \left((t+1)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(t+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (t+1)' = \frac{1}{2}(t+1)^{-1/2} \cdot 1$

Упростим полученное выражение:

$v(t) = \frac{1}{2(t+1)^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{t+1}}$

Теперь необходимо найти значение мгновенной скорости в момент времени $t=3$. Для этого подставим значение $t=3$ в найденную функцию скорости $v(t)$:

$v(3) = \frac{1}{2\sqrt{3+1}} = \frac{1}{2\sqrt{4}}$

Так как $\sqrt{4} = 2$, получаем:

$v(3) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.