Номер 793, страница 238 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 45. Производная степенной функции. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 793, страница 238.

793 Найти $f'(x_0)$, если:

1) $f(x) = x^6, x_0 = \frac{1}{2};$

2) $f(x) = x^{-2}, x_0 = 3;$

3) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4;$

4) $f(x) = \sqrt[3]{x}, x_0 = 8;$

5) $f(x) = \sqrt{5-4x}, x_0 = 1;$

6) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+1}}, x_0 = 1.$

1) Дана функция $f(x)=x^6$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.
Чтобы найти $f'(x_0)$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$f'(x) = (x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.
Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$ в выражение для производной:
$f'(\frac{1}{2}) = 6 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 6 \cdot \frac{1}{2^5} = 6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$.

2) Дана функция $f(x)=x^{-2}$ и точка $x_0 = 3$.
Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Подставим значение $x_0 = 3$ в производную:
$f'(3) = -\frac{2}{3^3} = -\frac{2}{27}$.
Ответ: $-\frac{2}{27}$.

3) Дана функция $f(x)=\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 4$.
Сначала представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:
$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

4) Дана функция $f(x)=\sqrt[3]{x}$ и точка $x_0 = 8$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Подставим значение $x_0 = 8$ в найденную производную:
$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{8})^2} = \frac{1}{3 \cdot 2^2} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

5) Дана функция $f(x)=\sqrt{5-4x}$ и точка $x_0 = 1$.
Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
Представим функцию в виде $f(x)=(5-4x)^{\frac{1}{2}}$.
$f'(x) = ((5-4x)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(5-4x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (5-4x)' = \frac{1}{2}(5-4x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4) = -2(5-4x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{2}{\sqrt{5-4 \cdot 1}} = -\frac{2}{\sqrt{1}} = -2$.
Ответ: $-2$.

6) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+1}}$ и точка $x_0 = 1$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (3x+1)^{-\frac{1}{2}}$.
Это сложная функция. Найдем ее производную по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = ((3x+1)^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}(3x+1)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (3x+1)' = -\frac{1}{2}(3x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 3 = -\frac{3}{2}(3x+1)^{-\frac{3}{2}}$.
Запишем производную в виде дроби с корнем: $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{(3x+1)^3}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{3}{2\sqrt{(3 \cdot 1 + 1)^3}} = -\frac{3}{2\sqrt{4^3}} = -\frac{3}{2\sqrt{64}} = -\frac{3}{2 \cdot 8} = -\frac{3}{16}$.
Ответ: $-\frac{3}{16}$.