Номер 795, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 795, страница 239.

Условие.

795 На рисунке 107 изображён график функции, являющейся производной одной из функций $y = x^2$, $y = x^3$ или $y = x^{1/2}$. Установить функцию.

Рис. 107

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы установить, производная какой из предложенных функций изображена на рисунке, необходимо найти производные для каждой из функций и сравнить их с графиком. На рисунке 107 изображена парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Из графика видно, что он проходит через точки с координатами $(-1, 3)$ и $(1, 3)$.

Общий вид уравнения такой параболы — $y = kx^2$. Чтобы найти коэффициент $k$, подставим в уравнение координаты одной из точек, например $(1, 3)$: $3 = k \cdot 1^2$ Отсюда получаем, что $k = 3$. Следовательно, на рисунке изображен график функции $y = 3x^2$.

Теперь найдем производные для каждой из предложенных функций:

1. Для функции $y = x^2$ производная равна: $y' = (x^2)' = 2x$. Графиком этой функции является прямая линия, что не соответствует параболе на рисунке.

2. Для функции $y = x^3$ производная равна: $y' = (x^3)' = 3x^2$. График этой функции, $y = 3x^2$, полностью совпадает с графиком, изображенным на рисунке.

3. Для функции $y = x^{\frac{1}{2}}$ (или $y = \sqrt{x}$) производная равна: $y' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Область определения этой производной — $x > 0$. График на рисунке определен также и для отрицательных значений $x$, поэтому он не может быть графиком этой функции.

Таким образом, на рисунке изображен график производной функции $y = x^3$.

Ответ: $y = x^3$.