Номер 791, страница 238 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 791, страница 238.

Условие.

791 1) $(4x-3)^2$;

2) $(5x+2)^{-3}$;

3) $(1-2x)^{-6}$;

4) $(2-5x)^4$;

5) $(2x)^3$;

6) $(-5x)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы возвести двучлен $(4x - 3)$ в квадрат, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 4x$ и $b = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$.

Ответ: $16x^2 - 24x + 9$.

2) Для преобразования выражения $(5x + 2)^{-3}$ используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применяя это правило, мы переносим основание степени в знаменатель, меняя знак показателя на противоположный:

$(5x + 2)^{-3} = \frac{1}{(5x + 2)^3}$.

Данное выражение определено при условии, что $5x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{(5x + 2)^3}$.

3) Для выражения $(1 - 2x)^{-6}$ применяется то же свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Таким образом, получаем:

$(1 - 2x)^{-6} = \frac{1}{(1 - 2x)^6}$.

Данное выражение определено при $1 - 2x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$. Раскрывать скобки в знаменателе (возводить в 6-ю степень) в данном случае нецелесообразно, так как это приведет к очень громоздкому многочлену.

Ответ: $\frac{1}{(1 - 2x)^6}$.

4) Для возведения двучлена $(2 - 5x)$ в четвертую степень используем формулу бинома Ньютона. Коэффициенты для $n=4$ можно найти в треугольнике Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1. Формула для разности в 4-й степени: $(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.

Здесь $a = 2$ и $b = 5x$.

Выполним подстановку и вычисления:

$(2 - 5x)^4 = 2^4 - 4 \cdot (2^3) \cdot (5x) + 6 \cdot (2^2) \cdot (5x)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5x)^3 + (5x)^4$

$= 16 - 4 \cdot 8 \cdot (5x) + 6 \cdot 4 \cdot (25x^2) - 8 \cdot (125x^3) + 625x^4$

$= 16 - 160x + 600x^2 - 1000x^3 + 625x^4$.

Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$.

Ответ: $625x^4 - 1000x^3 + 600x^2 - 160x + 16$.

5) Чтобы возвести одночлен $(2x)$ в куб, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.

Применяем это правило к нашему выражению:

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.

Ответ: $8x^3$.

6) Для возведения одночлена $(-5x)$ в четвертую степень также используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$.

Важно учесть, что отрицательное число, возводимое в четную степень, дает положительный результат.

$(-5x)^4 = (-5)^4 \cdot x^4 = ((-1) \cdot 5)^4 \cdot x^4 = (-1)^4 \cdot 5^4 \cdot x^4 = 1 \cdot 625 \cdot x^4 = 625x^4$.

Ответ: $625x^4$.