Номер 794, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 794, страница 239.

Условие.

794 Построить график функции $y = x^4$ и график функции, являющейся её производной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для выполнения задания сначала найдём производную заданной функции, а затем проведём исследование и построим график для исходной функции и для её производной.

Построить график функции y = x⁴

Проведём полное исследование функции $y = x^4$ для построения её графика:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Чётность: Функция является чётной, так как $y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y=0$. Если $y=0$, то $x^4=0$, откуда $x=0$. График проходит через начало координат (0; 0), и это единственная точка пересечения с осями.
• Промежутки монотонности и экстремумы: Найдём производную: $y' = (x^4)' = 4x^3$.
  Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $4x^3 = 0 \implies x=0$.
  При $x < 0$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на интервале $(-\infty; 0]$.
  При $x > 0$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на интервале $[0; +\infty)$.
  В точке $x=0$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, это точка минимума. Минимальное значение функции: $y_{min} = y(0) = 0$.
• Выпуклость и вогнутость: Найдём вторую производную: $y'' = (4x^3)' = 12x^2$.
  Поскольку $y'' = 12x^2 \ge 0$ для всех значений $x$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз) на всей области определения. Точек перегиба нет.

Для построения графика составим таблицу ключевых значений:

$x$	-2	-1	-0.5	0	0.5	1	2
$y=x^4$	16	1	0.0625	0	0.0625	1	16

График функции $y = x^4$ — это кривая, симметричная относительно оси Oy, с ветвями, направленными вверх. Он проходит через точку минимума (0; 0). В окрестности нуля график более пологий, чем парабола $y=x^2$, а при $|x|>1$ растёт значительно быстрее.

Ответ: График функции $y = x^4$ — это чётная кривая, симметричная относительно оси Oy. Она проходит через начало координат, которое является точкой глобального минимума (0; 0). Функция убывает на интервале $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. График является вогнутым на всей области определения.

Построить график функции, являющейся её производной

Сначала найдём функцию, которая является производной от $y=x^4$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$, получаем:
$y' = (x^4)' = 4x^3$.
Теперь проведём исследование и построим график функции $y = 4x^3$.

• Область определения: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нечётность: Функция является нечётной, так как $y(-x) = 4(-x)^3 = -4x^3 = -y(x)$. Её график симметричен относительно начала координат (0; 0).
• Точки пересечения с осями: График проходит через начало координат (0; 0), это единственная точка пересечения с осями.
• Промежутки монотонности и экстремумы: Найдём производную: $g'(x) = (4x^3)' = 12x^2$.
  Поскольку $g'(x) = 12x^2 \ge 0$ для всех $x$ (и равна нулю только в точке $x=0$), функция $y = 4x^3$ монотонно возрастает на всей области определения. Экстремумов у функции нет.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: Найдём вторую производную: $g''(x) = (12x^2)' = 24x$.
  При $x < 0$, $g''(x) < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
  При $x > 0$, $g''(x) > 0$, следовательно, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
  В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, точка (0; 0) является точкой перегиба графика.

Для построения графика составим таблицу ключевых значений:

$x$	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5
$y=4x^3$	-13.5	-4	-0.5	0	0.5	4	13.5

График функции $y=4x^3$ — это кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях. Она симметрична относительно начала координат и монотонно возрастает.

Ответ: Графиком производной является график функции $y = 4x^3$. Это нечётная, монотонно возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат. Точка (0; 0) является точкой перегиба: при $x<0$ график выпуклый вверх, а при $x>0$ — вогнутый (выпуклый вниз).