Номер 799, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 45. Производная степенной функции. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 799, страница 239.

799 При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = f(x)$,

если:

1) $f(x) = (2x - 1)^2$;

2) $f(x) = (3x + 2)^3$?

1) Дана функция $f(x) = (2x - 1)^2$.

Для выполнения равенства $f'(x) = f(x)$ сначала найдем производную функции $f'(x)$. Будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

В нашем случае $u = 2x - 1$ и $n = 2$. Производная внутренней функции $u' = (2x - 1)' = 2$.

Следовательно, производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = 2 \cdot (2x - 1)^{2-1} \cdot (2x-1)' = 2(2x - 1) \cdot 2 = 4(2x - 1) = 8x - 4$.

Теперь приравняем производную к самой функции, чтобы составить уравнение $f'(x) = f(x)$:

$8x - 4 = (2x - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$8x - 4 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 4x - 8x + 1 + 4 = 0$

$4x^2 - 12x + 5 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 = 8^2$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$

$x_2 = \frac{12 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $x = 0.5, x = 2.5$.

2) Дана функция $f(x) = (3x + 2)^3$.

Аналогично первому пункту, найдем производную функции $f'(x)$ по цепному правилу.

Здесь $u = 3x + 2$ и $n = 3$. Производная внутренней функции $u' = (3x + 2)' = 3$.

Производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = 3 \cdot (3x + 2)^{3-1} \cdot (3x+2)' = 3(3x + 2)^2 \cdot 3 = 9(3x + 2)^2$.

Составим и решим уравнение $f'(x) = f(x)$:

$9(3x + 2)^2 = (3x + 2)^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$(3x + 2)^3 - 9(3x + 2)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(3x + 2)^2$ за скобки. Важно не делить на этот множитель, чтобы не потерять корень.

$(3x + 2)^2 \cdot ((3x + 2) - 9) = 0$

$(3x + 2)^2 \cdot (3x - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

Первое уравнение: $(3x + 2)^2 = 0 \implies 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{3}$.

Второе уравнение: $3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x_2 = \frac{7}{3}$.

Ответ: $x = -\frac{2}{3}, x = \frac{7}{3}$.