Номер 803, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 803, страница 243.

Условие.

803 1) $3x^2 - 5x + 5;$

2) $5x^2 + 6x - 7;$

3) $x^4 + 2x^2;$

4) $x^5 - 3x^2;$

5) $x^3 + 5x;$

6) $-2x^3 + 18x;$

7) $2x^3 - 3x^2 + 6x + 1;$

8) $-3x^3 + 2x^2 - x - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной многочлена $3x^2 - 5x + 5$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и степенной функции. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных.

$(3x^2 - 5x + 5)' = (3x^2)' - (5x)' + (5)'$

Используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, $(c)'=0$, получаем:

$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

$(5x)' = 5 \cdot 1x^{1-1} = 5 \cdot x^0 = 5$

$(5)' = 0$

Собрав все вместе, получаем конечный результат:

$6x - 5 + 0 = 6x - 5$

Ответ: $6x-5$

2) Продифференцируем многочлен $5x^2 + 6x - 7$.

$(5x^2 + 6x - 7)' = (5x^2)' + (6x)' - (7)'$

Находим производную каждого слагаемого в отдельности, применяя правило $(ax^n)' = a \cdot nx^{n-1}$:

$(5x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$

$(6x)' = 6 \cdot 1 = 6$

$(7)' = 0$

Складываем полученные выражения:

$10x + 6 - 0 = 10x + 6$

Ответ: $10x+6$

3) Вычислим производную функции $f(x) = x^4 + 2x^2$.

$f'(x) = (x^4 + 2x^2)' = (x^4)' + (2x^2)'$

Применяем степенное правило дифференцирования:

$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$

$(2x^2)' = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x$

Таким образом, производная равна:

$4x^3 + 4x$

Ответ: $4x^3+4x$

4) Находим производную многочлена $x^5 - 3x^2$.

$(x^5 - 3x^2)' = (x^5)' - (3x^2)'$

Дифференцируем каждый член:

$(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$

$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

Результат:

$5x^4 - 6x$

Ответ: $5x^4 - 6x$

5) Находим производную многочлена $x^3 + 5x$.

$(x^3 + 5x)' = (x^3)' + (5x)'$

Дифференцируем по частям:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

$(5x)' = 5$

Складываем результаты:

$3x^2 + 5$

Ответ: $3x^2+5$

6) Вычислим производную функции $f(x) = -2x^3 + 18x$.

$f'(x) = (-2x^3 + 18x)' = (-2x^3)' + (18x)'$

Дифференцируем каждый член:

$(-2x^3)' = -2 \cdot 3x^{3-1} = -6x^2$

$(18x)' = 18$

Итоговая производная:

$-6x^2 + 18$

Ответ: $-6x^2+18$

7) Находим производную многочлена $2x^3 - 3x^2 + 6x + 1$.

$(2x^3 - 3x^2 + 6x + 1)' = (2x^3)' - (3x^2)' + (6x)' + (1)'$

Дифференцируем по слагаемым:

$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$

$(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$

$(6x)' = 6$

$(1)' = 0$

Собираем все вместе:

$6x^2 - 6x + 6 - 0 = 6x^2 - 6x + 6$

Ответ: $6x^2-6x+6$

8) Находим производную многочлена $-3x^3 + 2x^2 - x - 5$.

$(-3x^3 + 2x^2 - x - 5)' = (-3x^3)' + (2x^2)' - (x)' - (5)'$

Дифференцируем каждый член:

$(-3x^3)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$

$(2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$

$(x)' = 1$

$(5)' = 0$

Итоговый результат:

$-9x^2 + 4x - 1 - 0 = -9x^2 + 4x - 1$

Ответ: $-9x^2+4x-1$