Номер 808, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 46. Правила дифференцирования. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 808, страница 243.

808 Дифференцируема ли функция $y = f (x)$ в точке $x$, если:

1) $y = \frac{2}{x-1}$, $x = 1$;

2) $y = \frac{3x-5}{(x-3)^2}$, $x = 3$;

3) $y = \sqrt{x+1}$, $x = 0$;

4) $y = \sqrt{5-x}$, $x = 4?$;

1)

Чтобы определить, дифференцируема ли функция $y = f(x) = \frac{2}{x-1}$ в точке $x=1$, необходимо сначала проверить, определена ли функция в этой точке. Дифференцируемость в точке подразумевает непрерывность в этой точке, а непрерывность, в свою очередь, требует, чтобы функция была определена.

Найдем значение функции в точке $x=1$:

$f(1) = \frac{2}{1-1} = \frac{2}{0}$

Выражение в знаменателе равно нулю, что означает, что функция $y = f(x)$ не определена в точке $x=1$. Так как функция не определена в этой точке, она не является непрерывной и, следовательно, не может быть дифференцируемой.

Ответ: нет, функция не дифференцируема в точке $x=1$.

2)

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \frac{3x-5}{(x-3)^2}$ в точке $x=3$.

Проверим, определена ли функция в этой точке, подставив $x=3$ в выражение:

$f(3) = \frac{3 \cdot 3 - 5}{(3-3)^2} = \frac{9-5}{0^2} = \frac{4}{0}$

В точке $x=3$ знаменатель дроби обращается в ноль, поэтому функция не определена в этой точке. Из-за этого функция имеет разрыв и не является непрерывной в точке $x=3$, а значит, и не дифференцируема в ней.

Ответ: нет, функция не дифференцируема в точке $x=3$.

3)

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x+1}$ в точке $x=0$.

Сначала проверим, определена ли функция в точке $x=0$:

$f(0) = \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$

Функция определена в точке $x=0$. Для проверки дифференцируемости найдем ее производную.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ и правило для корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} u'$:

$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot (x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Теперь найдем значение производной в точке $x=0$:

$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$

Поскольку производная в точке $x=0$ существует и имеет конечное значение, функция дифференцируема в этой точке.

Ответ: да, функция дифференцируема в точке $x=0$.

4)

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{5-x}$ в точке $x=4$.

Проверим, определена ли функция в точке $x=4$:

$f(4) = \sqrt{5-4} = \sqrt{1} = 1$

Функция определена в точке $x=4$. Теперь найдем ее производную.

Используя правило дифференцирования сложной функции, где $u=5-x$:

$f'(x) = (\sqrt{5-x})' = \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \cdot (5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$

Вычислим значение производной в точке $x=4$:

$f'(4) = -\frac{1}{2\sqrt{5-4}} = -\frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}$

Так как производная в точке $x=4$ существует и конечна, функция дифференцируема в этой точке.

Ответ: да, функция дифференцируема в точке $x=4$.