Номер 809, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 809, страница 243.

Условие.

809 Найти значения x, при которых значение производной функции f (x) равно 0, если:

1) $f(x) = x^3 - 2x;$

2) $f(x) = -x^2 + 3x + 1;$

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3;$

4) $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1;$

5) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2;$

6) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.
Чтобы найти значения $x$, при которых производная равна 0, сначала найдем производную функции $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$f'(x) = (x^3)' - (2x)' = 3x^2 - 2$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$3x^2 - 2 = 0$
$3x^2 = 2$
$x^2 = \frac{2}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 + 3x + 1$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (-x^2)' + (3x)' + (1)' = -2x + 3$.
Приравняем производную к нулю:
$-2x + 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $x = 1.5$.

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' - (12x)' - (3)' = 6x^2 + 6x - 12$.
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$6x^2 + 6x - 12 = 0$
Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:
$x^2 + x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить разложением на множители:
$(x + 2)(x - 1) = 0$
Корни уравнения: $x+2=0$ или $x-1=0$.
$x_1 = -2, x_2 = 1$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (7x)' + (1)' = 3x^2 + 4x - 7$.
Приравняем производную к нулю:
$3x^2 + 4x - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 10}{6}$.
$x_1 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{7}{3}, x_2 = 1$.

5) Дана функция $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^4)' - (4x^3)' - (12x^2)' = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$
Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:
$12x(x^2 - x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $12x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 - x - 2 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_2=2, x_3=-1$.
Проверка: $2+(-1)=1$, $2 \cdot (-1)=-2$.
Таким образом, получаем три значения $x$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2$.

6) Дана функция $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4)' + (4x^3)' - (8x^2)' - (5)' = 4x^3 + 12x^2 - 16x$.
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$4x^3 + 12x^2 - 16x = 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 + 3x - 4) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $4x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 + 3x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_2=1, x_3=-4$.
Проверка: $1+(-4)=-3$, $1 \cdot (-4)=-4$.
Таким образом, получаем три значения $x$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0, x_3 = 1$.