Номер 812, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 812, страница 244.

Условие.

812 Пересекается ли график функции, являющейся производной функции $y = x^3 + 2x^2 - 3x + 4$, с графиком функции $y = 3x + 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для ответа на вопрос необходимо сначала найти производную функции $y = x^3 + 2x^2 - 3x + 4$. Обозначим эту производную как $y'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:$y' = (x^3)' + (2x^2)' - (3x)' + (4)' = 3x^2 + 4x - 3$.

Теперь нужно проверить, пересекается ли график этой производной, то есть $y = 3x^2 + 4x - 3$, с графиком функции $y = 3x + 1$. Графики пересекаются, если существуют значения $x$, при которых значения $y$ для обеих функций равны. Для этого приравняем правые части уравнений:$3x^2 + 4x - 3 = 3x + 1$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:$3x^2 + 4x - 3x - 3 - 1 = 0$$3x^2 + x - 4 = 0$.

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные корни, достаточно вычислить его дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то корни существуют, и графики пересекаются.

Для уравнения $3x^2 + x - 4 = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $b=1$, $c=-4$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

Поскольку дискриминант $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: да, пересекается.