Номер 817, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 817, страница 244.

Условие.

817 Представить в виде сложной функции:

1) $F(x) = \sqrt{2x^2 - 7}$;

2) $F(x) = \sin (x^2 + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $F(x) = \sqrt{2x^2 - 7}$;

Чтобы представить данную функцию $F(x)$ в виде сложной функции (композиции функций), нужно найти две функции — внешнюю $f(u)$ и внутреннюю $g(x)$ — так, чтобы их композиция $f(g(x))$ была равна исходной функции $F(x)$.

В выражении $F(x) = \sqrt{2x^2 - 7}$ вычисление происходит в два шага: сначала вычисляется значение подкоренного выражения $2x^2 - 7$, а затем из результата извлекается квадратный корень.

Это естественным образом определяет внутреннюю и внешнюю функции.

Внутренняя функция $g(x)$ — это выражение, которое вычисляется первым. В нашем случае это подкоренное выражение:
$g(x) = 2x^2 - 7$.

Внешняя функция $f(u)$ — это операция, которая применяется к результату внутренней функции. Если обозначить $u = g(x)$, то $F(x) = \sqrt{u}$. Следовательно, внешняя функция:
$f(u) = \sqrt{u}$.

Таким образом, мы представили функцию $F(x)$ как композицию $f(g(x))$, что можно проверить: $f(g(x)) = f(2x^2 - 7) = \sqrt{2x^2 - 7}$, что совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(u) = \sqrt{u}$ и $g(x) = 2x^2 - 7$.

2) $F(x) = \sin(x^2 + 1)$.

Аналогично первому пункту, представим функцию $F(x) = \sin(x^2 + 1)$ как композицию $F(x) = f(g(x))$.

Порядок вычислений следующий: сначала находится значение выражения в скобках, $x^2 + 1$, а затем от этого значения вычисляется синус.

Это позволяет определить внутреннюю и внешнюю функции.

Внутренняя функция $g(x)$ — это аргумент функции синуса:
$g(x) = x^2 + 1$.

Внешняя функция $f(u)$ — это сама функция синуса. Если мы обозначим $u = g(x)$, то $F(x) = \sin(u)$. Следовательно, внешняя функция:
$f(u) = \sin(u)$.

Проверим правильность представления: $f(g(x)) = f(x^2 + 1) = \sin(x^2 + 1)$, что соответствует исходной функции.

Ответ: $f(u) = \sin(u)$ и $g(x) = x^2 + 1$.