Номер 822, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 822, страница 244.

Условие.

822 При каких значениях x значение производной функции $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ равно 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых значение производной функции равно нулю, нужно сначала найти производную этой функции, а затем решить уравнение $f'(x) = 0$.

Дана функция: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$.

1. Находим производную функции $f'(x)$, используя правила дифференцирования (в частности, производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$):

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 1)' = 2 \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^2)' - 12 \cdot (x)' + (1)'$

$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 12 \cdot 1 + 0$

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$

2. Теперь приравниваем полученную производную к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 6:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-1, c=-2$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна нулю при $x = 2$ и $x = -1$.

Ответ: -1; 2.