Номер 819, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

819 1) $\frac{x^2-4}{\sqrt{x}};

2) $(\sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x}-\frac{1}{\sqrt[4]{x}}).$

1)

Чтобы упростить данное выражение, разделим числитель почленно на знаменатель. Это означает, что мы разделим каждый член числителя ($x^2$ и $-4$) на знаменатель ($\sqrt{x}$).
$\frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$
Теперь воспользуемся свойством степени с рациональным показателем: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Подставим это в наше выражение:
$\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для первого слагаемого и свойство отрицательного показателя $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$ для второго:
$x^{2 - \frac{1}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}$
Выполним вычитание в показателе степени:
$2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Таким образом, упрощенное выражение в виде степеней с рациональными показателями:
$x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}$
Это выражение также можно записать с использованием корней:
$x\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Ответ: $x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}$

2)

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух одинаковых выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае, пусть $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.
Применяя формулу, получаем:
$(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}) = (\sqrt[4]{x})^2 - (\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^2$
Теперь упростим каждый член полученного выражения. Представим корень четвертой степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.
Возводим в квадрат первый член:
$(\sqrt[4]{x})^2 = (x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$
Возводим в квадрат второй член:
$(\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt[4]{x})^2} = \frac{1}{(x^{\frac{1}{4}})^2} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Подставим упрощенные части обратно в выражение:
$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$
При желании, это выражение можно привести к общему знаменателю:
$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$