Номер 813, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 813, страница 244.

Условие.

813 При каких значениях $x$ значение производной функции $y = (x - 3)^5 (2 + 5x)^6$ равно 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, необходимо сначала найти саму производную, а затем приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Дана функция: $y = (x - 3)^5 (2 + 5x)^6$.

Эта функция представляет собой произведение двух функций: $u(x) = (x - 3)^5$ и $v(x) = (2 + 5x)^6$.

Для нахождения производной произведения используем формулу: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$, используя правило нахождения производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$u'(x) = ((x-3)^5)' = 5(x-3)^{5-1} \cdot (x-3)' = 5(x-3)^4 \cdot 1 = 5(x-3)^4$

$v'(x) = ((2+5x)^6)' = 6(2+5x)^{6-1} \cdot (2+5x)' = 6(2+5x)^5 \cdot 5 = 30(2+5x)^5$

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x-3)^4 (2+5x)^6 + (x-3)^5 \cdot 30(2+5x)^5$

Для удобства решения уравнения $y' = 0$ вынесем общие множители за скобки. Общими множителями являются $5$, $(x-3)^4$ и $(2+5x)^5$.

$y' = 5(x-3)^4 (2+5x)^5 [ (2+5x) + 6(x-3) ]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$ (2+5x) + 6(x-3) = 2 + 5x + 6x - 18 = 11x - 16 $

Таким образом, производная функции имеет вид:

$y' = 5(x-3)^4 (2+5x)^5 (11x - 16)$

Приравняем производную к нулю:

$5(x-3)^4 (2+5x)^5 (11x - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1) $(x-3)^4 = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$

2) $(2+5x)^5 = 0 \implies 2+5x = 0 \implies 5x = -2 \implies x = - \frac{2}{5}$

3) $11x - 16 = 0 \implies 11x = 16 \implies x = \frac{16}{11}$

Таким образом, производная функции равна нулю при трех значениях $x$.

Ответ: $x=3$; $x = - \frac{2}{5}$; $x = \frac{16}{11}$.