Номер 816, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 816, страница 244.

Условие.

816 Найти функцию $f (g (x))$, если:

1) $g (x) = 1 - x$, $f (g) = g^{\frac{3}{2}}$;

2) $g (x) = \ln x$, $f (g) = \sqrt{g}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f$ вместо ее аргумента $g$.

По условию задачи имеем:

$g(x) = 1 - x$

$f(g) = g^{\frac{3}{2}}$

Чтобы найти $f(g(x))$, мы заменяем аргумент $g$ в выражении для $f(g)$ на выражение $1 - x$:

$f(g(x)) = (g(x))^{\frac{3}{2}} = (1 - x)^{\frac{3}{2}}$

Это выражение также можно записать как $\sqrt{(1-x)^3}$. Область определения этой функции: $1 - x \geq 0$, то есть $x \leq 1$.

Ответ: $f(g(x)) = (1-x)^{\frac{3}{2}}$.

2) Действуем аналогично первому пункту.

По условию задачи имеем:

$g(x) = \ln x$

$f(g) = \sqrt{g}$

Подставляем выражение для $g(x)$ в функцию $f(g)$:

$f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\ln x}$

Область определения этой функции требует выполнения двух условий: $x > 0$ (для существования $\ln x$) и $\ln x \geq 0$ (для существования квадратного корня). Из $\ln x \geq 0$ следует, что $x \geq e^0$, то есть $x \geq 1$. Объединяя условия, получаем, что функция определена при $x \geq 1$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\ln x}$.