Номер 823, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 823, страница 244.

Условие.

823 При каких значениях $x$ значение производной функции $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ равно 3?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит в том, чтобы найти значения $x$, для которых производная функции $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ равна 3.

1. Находим производную функции $f(x)$.

Функция $f(x)$ является частным двух функций: $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (2x - 1)' = 2$

$v'(x) = (x + 1)' = 1$

Теперь подставим эти производные в формулу:

$f'(x) = \frac{2 \cdot (x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$

2. Приравниваем производную к 3 и решаем уравнение.

По условию задачи, $f'(x) = 3$. Составим уравнение:

$\frac{3}{(x + 1)^2} = 3$

Область допустимых значений для этого уравнения: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{1}{(x + 1)^2} = 1$

Это означает, что:

$(x + 1)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 1 = 1$ или $x + 1 = -1$

Решаем каждое уравнение:

1) $x + 1 = 1 \implies x = 1 - 1 \implies x = 0$

2) $x + 1 = -1 \implies x = -1 - 1 \implies x = -2$

Оба значения, $x=0$ и $x=-2$, удовлетворяют условию $x \neq -1$.

Ответ: производная функции равна 3 при $x=0$ и $x=-2$.