Номер 830, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 830, страница 245.

Условие.

830 Найти производную функции $f (x)=\sqrt{x^2 - 5x + 6}$ при $x < 2$ и при $x > 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$ необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Сначала определим область, в которой функция дифференцируема. Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x-2)(x-3) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$. Производная функции существует, когда подкоренное выражение строго больше нуля, то есть при $x < 2$ или $x > 3$. Это в точности соответствует интервалам, указанным в условии задачи.

Представим функцию $f(x)$ как композицию двух функций: внешней $g(u) = \sqrt{u}$ и внутренней $u(x) = x^2 - 5x + 6$. По правилу дифференцирования сложной функции, производная $f'(x)$ равна произведению производной внешней функции по ее аргументу и производной внутренней функции: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Найдем производные для каждой функции:

1. Производная внутренней функции:$u'(x) = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.

2. Производная внешней функции:$g'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Теперь подставим выражение для $u(x)$ в производную внешней функции и умножим на производную внутренней функции:$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}} \cdot (2x - 5)$.

Таким образом, искомая производная имеет вид:$f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.

при x < 2 и при x > 3

Выведенная формула для производной $f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$ справедлива для обоих интервалов, указанных в условии задачи.
Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$.