Номер 835, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 835, страница 249.

Условие.

835 1) $2 \ln x + 3^x;$

2) $3 \ln x - 2^x;$

3) $\log_2 x + \frac{1}{2x};$

4) $3 x^{-3} - \log_3 x;$

5) $\ln (x^2 - 2x);$

6) $(3x^2 - 2) \log_3 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $y = 2 \ln x + 3^x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. В нашем случае $u(x) = 2 \ln x$ и $v(x) = 3^x$.

Найдём производную первого слагаемого, используя правило для производной натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и вынесение константы за знак производной:

$(2 \ln x)' = 2 \cdot (\ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Найдём производную второго слагаемого, используя правило для производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:

$(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Сложим полученные производные:

$y' = \frac{2}{x} + 3^x \ln 3$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x} + 3^x \ln 3$.

2) Дана функция $y = 3 \ln x - 2^x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдём производную уменьшаемого: $(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Найдём производную вычитаемого: $(2^x)' = 2^x \ln 2$.

Найдём разность производных:

$y' = \frac{3}{x} - 2^x \ln 2$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x} - 2^x \ln 2$.

3) Дана функция $y = \log_2 x + \frac{1}{2x}$.

Это сумма двух функций, поэтому её производная равна сумме производных: $y' = (\log_2 x)' + (\frac{1}{2x})'$.

Найдём производную первого слагаемого, используя правило для производной логарифма с произвольным основанием $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:

$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Для нахождения производной второго слагаемого представим его в виде степенной функции $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2}x^{-1}$ и воспользуемся правилом $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$(\frac{1}{2}x^{-1})' = \frac{1}{2} \cdot (-1)x^{-1-1} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

Сложим полученные производные:

$y' = \frac{1}{x \ln 2} - \frac{1}{2x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 2} - \frac{1}{2x^2}$.

4) Дана функция $y = 3x^{-3} - \log_3 x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности: $y' = (3x^{-3})' - (\log_3 x)'$.

Найдём производную первого слагаемого по правилу для степенной функции:

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4} = -\frac{9}{x^4}$.

Найдём производную второго слагаемого по правилу для логарифмической функции:

$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Найдём разность производных:

$y' = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{x \ln 3}$.

5) Дана функция $y = \ln(x^2 - 2x)$.

Это сложная функция вида $f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = \ln u$, а внутренняя $g(x) = x^2 - 2x$. Применяем цепное правило: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции: $f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

Подставляем $g(x)$ в $f'(u)$ и умножаем на $g'(x)$:

$y' = \frac{1}{x^2 - 2x} \cdot (2x - 2) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x}$.

Ответ: $y' = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x}$.

6) Дана функция $y = (3x^2 - 2) \log_3 x$.

Это произведение двух функций $u(x) = 3x^2 - 2$ и $v(x) = \log_3 x$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдём производные сомножителей:

$u'(x) = (3x^2 - 2)' = 3 \cdot 2x - 0 = 6x$.

$v'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Подставляем найденные производные в формулу:

$y' = (6x) \cdot \log_3 x + (3x^2 - 2) \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.

Упростим выражение:

$y' = 6x \log_3 x + \frac{3x^2 - 2}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = 6x \log_3 x + \frac{3x^2 - 2}{x \ln 3}$.