Номер 832, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 832, страница 249.

Условие.

832 1) $e^{2x+1} + 2x^3$;

2) $e^{\frac{1}{2}x-1} - \sqrt{x-1}$;

3) $e^{0.3x+2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$;

4) $e^{1-x} + x^{-3}$;

5) $e^{x^2}$;

6) $e^{2x^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения производной функции $y = e^{2x+1} + 2x^3$ мы используем правило дифференцирования суммы и правило производной сложной функции (цепное правило).

Производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Таким образом, $y' = (e^{2x+1})' + (2x^3)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(e^{2x+1})'$. Это сложная функция, где внешняя функция $e^u$, а внутренняя $u = 2x+1$. Производная $(e^u)' = e^u$, а производная $(2x+1)' = 2$. По цепному правилу:

$(e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$.

Найдем производную второго слагаемого, $(2x^3)'$. Используем правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$.

Теперь сложим полученные производные:

$y' = 2e^{2x+1} + 6x^2$.

Ответ: $2e^{2x+1} + 6x^2$.

2)

Для нахождения производной функции $y = e^{\frac{1}{2}x-1} - \sqrt{x-1}$ мы используем правило дифференцирования разности и правило производной сложной функции.

Производная разности функций равна разности их производных: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

Таким образом, $y' = (e^{\frac{1}{2}x-1})' - (\sqrt{x-1})'$.

Найдем производную первого члена, $(e^{\frac{1}{2}x-1})'$. По цепному правилу, где $u = \frac{1}{2}x-1$, а $u' = \frac{1}{2}$:

$(e^{\frac{1}{2}x-1})' = e^{\frac{1}{2}x-1} \cdot (\frac{1}{2}x-1)' = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1}$.

Найдем производную второго члена, $(\sqrt{x-1})'$. Представим корень как степень: $\sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2}$. Это сложная функция, где $u=x-1$, а $u'=1$. По цепному правилу и правилу степенной функции:

$(\sqrt{x-1})' = ((x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x-1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Теперь вычтем вторую производную из первой:

$y' = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1} - \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x-1} - \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

3)

Для нахождения производной функции $y = e^{0.3x+2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ мы используем правило дифференцирования суммы, правило производной сложной функции и правило производной степенной функции.

Производная суммы: $y' = (e^{0.3x+2})' + (\frac{1}{\sqrt{x}})'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(e^{0.3x+2})'$. По цепному правилу, где $u = 0.3x+2$, а $u' = 0.3$:

$(e^{0.3x+2})' = e^{0.3x+2} \cdot (0.3x+2)' = 0.3e^{0.3x+2}$.

Найдем производную второго слагаемого, $(\frac{1}{\sqrt{x}})'$. Представим его в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$. Используем правило степенной функции:

$(x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Сложим полученные производные:

$y' = 0.3e^{0.3x+2} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Ответ: $0.3e^{0.3x+2} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

4)

Для нахождения производной функции $y = e^{1-x} + x^{-3}$ мы используем правило дифференцирования суммы, цепное правило и правило производной степенной функции.

Производная суммы: $y' = (e^{1-x})' + (x^{-3})'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(e^{1-x})'$. По цепному правилу, где $u=1-x$, а $u'=-1$:

$(e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$.

Найдем производную второго слагаемого, $(x^{-3})'$. По правилу степенной функции:

$(x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$.

Сложим полученные производные:

$y' = -e^{1-x} - 3x^{-4}$.

Ответ: $-e^{1-x} - 3x^{-4}$.

5)

Для нахождения производной функции $y = e^{x^2}$ мы используем правило производной сложной функции (цепное правило).

Функция является сложной, где внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя $u(x) = x^2$.

Производная $(e^u)' = e^u$, а производная $(x^2)' = 2x$.

По цепному правилу $(f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$:

$y' = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$.

Ответ: $2xe^{x^2}$.

6)

Для нахождения производной функции $y = e^{2x^3}$ мы используем правило производной сложной функции (цепное правило).

Функция является сложной, где внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя $u(x) = 2x^3$.

Производная $(e^u)' = e^u$, а производная $(2x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$.

По цепному правилу $(f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$:

$y' = (e^{2x^3})' = e^{2x^3} \cdot (2x^3)' = e^{2x^3} \cdot 6x^2 = 6x^2e^{2x^3}$.

Ответ: $6x^2e^{2x^3}$.