Номер 833, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 833, страница 249.

Условие.

833 1) $2^x + e^x$

2) $3^x - x^{-2}$

3) $e^{2x} - x$

4) $e^{3x} + 2x^2$

5) $3^{x^2+2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = 2^x + e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
$y' = (2^x + e^x)' = (2^x)' + (e^x)'$.
Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$. Для $a=2$ получаем: $(2^x)' = 2^x \ln 2$.
Производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.
Складываем полученные производные: $y' = 2^x \ln 2 + e^x$.
Ответ: $2^x \ln 2 + e^x$.

2) Для нахождения производной функции $y = 3^x - x^{-2}$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (3^x - x^{-2})' = (3^x)' - (x^{-2})'$.
Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$. Для $a=3$ получаем: $(3^x)' = 3^x \ln 3$.
Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Для $n=-2$ получаем: $(x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3}$.
Подставляем найденные производные в выражение: $y' = 3^x \ln 3 - (-2x^{-3}) = 3^x \ln 3 + 2x^{-3}$.
Ответ: $3^x \ln 3 + 2x^{-3}$.

3) Для нахождения производной функции $y = e^{2x} - x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (e^{2x} - x)' = (e^{2x})' - (x)'$.
Функция $e^{2x}$ является сложной. Применяем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Пусть $g(x) = 2x$, тогда $f(g(x)) = e^{g(x)}$.
$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
Производная от $x$ равна 1: $(x)'=1$.
Таким образом, $y' = 2e^{2x} - 1$.
Ответ: $2e^{2x} - 1$.

4) Для нахождения производной функции $y = e^{3x} + 2x^2$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
$y' = (e^{3x} + 2x^2)' = (e^{3x})' + (2x^2)'$.
Для первого слагаемого $e^{3x}$ применяем правило дифференцирования сложной функции:
$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.
Для второго слагаемого $2x^2$ применяем правило дифференцирования степенной функции с константой:
$(2x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$.
Складываем результаты: $y' = 3e^{3x} + 4x$.
Ответ: $3e^{3x} + 4x$.

5) Функция $y = 3^{x^2+2}$ является сложной. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Здесь внешняя функция $f(u) = 3^u$, а внутренняя функция $u(x) = g(x) = x^2+2$.
Производная внешней функции: $(3^u)' = 3^u \ln 3$.
Производная внутренней функции: $(x^2+2)' = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$.
Перемножаем производные, подставляя вместо $u$ выражение $x^2+2$:
$y' = (3^{x^2+2})' = 3^{x^2+2} \ln 3 \cdot (x^2+2)' = 3^{x^2+2} \ln 3 \cdot (2x)$.
Для удобства записи множитель $2x$ выносим вперед: $y' = 2x \cdot 3^{x^2+2} \ln 3$.
Ответ: $2x \cdot 3^{x^2+2} \ln 3$.