Номер 840, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 47. Производные некоторых элементарных функций. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 840, страница 249.

840 Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x - 4} + 2 \ln x, x_0 = 2;$

2) $f(x) = e^{3x - 2} - \ln (3x - 1), x_0 = \frac{2}{3};$

3) $f(x) = 2^x - \log_2 x, x_0 = 1;$

4) $f(x) = \log_{0,5} x - 3^x, x_0 = 1.$

1) Дана функция $f(x) = e^{2x-4} + 2 \ln x$ и точка $x_0 = 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также правило для сложной функции (цепное правило) и производные стандартных функций.

Производная первого слагаемого $e^{2x-4}$ находится по правилу производной сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$:

$(e^{2x-4})' = e^{2x-4} \cdot (2x-4)' = e^{2x-4} \cdot 2 = 2e^{2x-4}$.

Производная второго слагаемого $2 \ln x$ находится по правилу $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и $(\ln x)' = 1/x$:

$(2 \ln x)' = 2 \cdot (\ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2e^{2x-4} + \frac{2}{x}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, подставив это значение в выражение для производной:

$f'(2) = 2e^{2 \cdot 2 - 4} + \frac{2}{2} = 2e^{4-4} + 1 = 2e^0 + 1$.

Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($e^0 = 1$), получаем:

$f'(2) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

2) Дана функция $f(x) = e^{3x-2} - \ln(3x-1)$ и точка $x_0 = \frac{2}{3}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и цепное правило.

Производная первого слагаемого $e^{3x-2}$:

$(e^{3x-2})' = e^{3x-2} \cdot (3x-2)' = e^{3x-2} \cdot 3 = 3e^{3x-2}$.

Производная второго слагаемого $\ln(3x-1)$ находится по правилу $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$:

$(\ln(3x-1))' = \frac{1}{3x-1} \cdot (3x-1)' = \frac{3}{3x-1}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 3e^{3x-2} - \frac{3}{3x-1}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$:

$f'(\frac{2}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} - \frac{3}{3 \cdot \frac{2}{3} - 1} = 3e^{2-2} - \frac{3}{2-1} = 3e^0 - \frac{3}{1}$.

Так как $e^0 = 1$, получаем:

$f'(\frac{2}{3}) = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

Ответ: 0.

3) Дана функция $f(x) = 2^x - \log_2 x$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности, а также формулы производных показательной и логарифмической функций: $(a^x)' = a^x \ln a$ и $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Производная первого слагаемого $2^x$:

$(2^x)' = 2^x \ln 2$.

Производная второго слагаемого $\log_2 x$:

$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2^1 \ln 2 - \frac{1}{1 \cdot \ln 2} = 2 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2}$.

Ответ: $2 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2}$.

4) Дана функция $f(x) = \log_{0.5} x - 3^x$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования разности и формулы производных логарифмической и показательной функций.

Производная первого слагаемого $\log_{0.5} x$:

$(\log_{0.5} x)' = \frac{1}{x \ln 0.5}$.

Поскольку $\ln 0.5 = \ln \frac{1}{2} = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, то

$(\log_{0.5} x)' = \frac{1}{x(-\ln 2)} = -\frac{1}{x \ln 2}$.

Производная второго слагаемого $3^x$:

$(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -\frac{1}{x \ln 2} - 3^x \ln 3$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{1 \cdot \ln 2} - 3^1 \ln 3 = -\frac{1}{\ln 2} - 3 \ln 3$.

Ответ: $-\frac{1}{\ln 2} - 3 \ln 3$.