Номер 845, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 845, страница 250.

Условие.

845 1) $0,5^x \cdot \cos 2x;$

2) $5\sqrt{x} \cdot e^{-x};$

3) $e^{3-2x} \cdot \cos (3-2x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = 0.5^x \cdot \cos(2x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 0.5^x$ и $v = \cos(2x)$.

Сначала найдем производные каждого сомножителя.

Производная показательной функции $u(x) = 0.5^x$ находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$:

$u'(x) = (0.5^x)' = 0.5^x \ln(0.5)$. Поскольку $\ln(0.5) = \ln(1/2) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$, получаем:

$u'(x) = -0.5^x \ln(2)$.

Производная функции $v(x) = \cos(2x)$ является производной сложной функции. По правилу цепочки $(\cos(f(x)))' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$:

$v'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (-0.5^x \ln(2)) \cdot \cos(2x) + 0.5^x \cdot (-2\sin(2x))$.

Упростим выражение, вынеся общий множитель $-0.5^x$ за скобки:

$y' = -0.5^x(\ln(2)\cos(2x) + 2\sin(2x))$.

Ответ: $y' = -0.5^x(\ln(2)\cos(2x) + 2\sin(2x))$.

2) Для нахождения производной функции $y = 5\sqrt{x} \cdot e^{-x}$ применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 5\sqrt{x}$ и $v = e^{-x}$.

Найдем производные каждого сомножителя.

Для нахождения производной $u(x) = 5\sqrt{x}$ представим корень как степень $x^{1/2}$ и используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$u'(x) = (5x^{1/2})' = 5 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{-1/2} = \frac{5}{2\sqrt{x}}$.

Производная $v(x) = e^{-x}$ находится как производная сложной функции:

$v'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.

Подставим производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{5}{2\sqrt{x}} \cdot e^{-x} + 5\sqrt{x} \cdot (-e^{-x}) = \frac{5e^{-x}}{2\sqrt{x}} - 5\sqrt{x}e^{-x}$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $5e^{-x}$ и приведя выражение в скобках к общему знаменателю:

$y' = 5e^{-x} \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\right) = 5e^{-x} \left(\frac{1 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\right) = 5e^{-x} \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{5e^{-x}(1 - 2x)}{2\sqrt{x}}$.

3) Для нахождения производной функции $y = e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = e^{3-2x}$ и $v = \cos(3-2x)$.

Найдем производные каждого сомножителя, используя правило дифференцирования сложной функции.

Производная $u(x) = e^{3-2x}$:

$u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = e^{3-2x} \cdot (-2) = -2e^{3-2x}$.

Производная $v(x) = \cos(3-2x)$:

$v'(x) = (\cos(3-2x))' = -\sin(3-2x) \cdot (3-2x)' = -\sin(3-2x) \cdot (-2) = 2\sin(3-2x)$.

Подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (-2e^{3-2x}) \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot (2\sin(3-2x))$.

Вынесем общий множитель $2e^{3-2x}$ за скобки:

$y' = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.

Ответ: $y' = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.