Номер 851, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 851, страница 250.

Условие.

851 1) $\frac{\sin x - \cos x}{x}$;

2) $\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin x - \cos x}{x}$ преобразуем его числитель, $\sin x - \cos x$, используя метод введения вспомогательного угла.

Выражение вида $a \sin \varphi - b \cos \varphi$ можно представить в виде $R \sin(\varphi - \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos \alpha = \frac{a}{R}$ и $\sin \alpha = \frac{b}{R}$. В нашем случае $a=1$ и $b=1$.

Найдем коэффициент $R$:

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем вспомогательный угол $\alpha$, для которого:

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, числитель можно переписать, используя формулу синуса разности:

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) = \sqrt{2} (\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\frac{\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})}{x}$.

В данном виде выражение не подлежит дальнейшему алгебраическому упрощению путем сокращения. Это преобразование является стандартным и часто используется для анализа свойств функции.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})}{x}$

2) Упростим выражение $\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.

Преобразуем числитель, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставляем в числитель:

$1 - \sin 2x = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$.

Мы получили в числителе формулу квадрата разности:

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x - \cos x)^2$.

Теперь вернемся к исходной дроби:

$\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x}$.

Мы можем сократить дробь на $(\sin x - \cos x)$, если это выражение не равно нулю.

Знаменатель обращается в ноль, когда $\sin x - \cos x = 0$, то есть $\sin x = \cos x$. Разделив обе части на $\cos x$ (который не может быть равен нулю в данном случае, иначе и $\sin x$ был бы равен нулю, что невозможно), получим $\tan x = 1$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

При условии $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, мы можем выполнить сокращение:

$\frac{(\sin x - \cos x)^{\cancel{2}}}{\cancel{\sin x - \cos x}} = \sin x - \cos x$.

Ответ: $\sin x - \cos x$