Номер 854, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 854, страница 250.

Условие.

854 Вычислить $f'(x) + f(x) + 2$, если $f(x) = x \sin 2x$, $x = \pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления значения выражения $f'(x) + f(x) + 2$ при $x=\pi$, нам необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Найти значение функции $f(x)$ в точке $x=\pi$.
Дана функция $f(x) = x \sin 2x$. Подставим $x = \pi$ в это выражение:
$f(\pi) = \pi \sin(2\pi)$
Поскольку значение $\sin(2\pi)$ равно 0, получаем:
$f(\pi) = \pi \cdot 0 = 0$

2. Найти производную функции $f'(x)$.
Функция $f(x) = x \sin 2x$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sin 2x$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x)' = 1$
Для нахождения $v'(x) = (\sin 2x)'$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная от $\sin u$ равна $\cos u \cdot u'$. В нашем случае $u=2x$, и $u'=2$.
$v'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot (2\cos 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x$

3. Найти значение производной $f'(x)$ в точке $x=\pi$.
Подставим $x = \pi$ в выражение для производной $f'(x) = \sin 2x + 2x\cos 2x$:
$f'(\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi\cos(2\pi)$
Мы знаем, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\cos(2\pi) = 1$. Подставляем эти значения:
$f'(\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi$

4. Вычислить итоговое выражение.
Теперь у нас есть все компоненты для вычисления $f'(\pi) + f(\pi) + 2$. Подставим найденные значения $f(\pi) = 0$ и $f'(\pi) = 2\pi$:
$f'(\pi) + f(\pi) + 2 = 2\pi + 0 + 2 = 2\pi + 2$

Ответ: $2\pi + 2$